Rotación en 3D (transformación del sistema de coordenadas)

Question

¿Cómo puedo girar un punto alrededor del punto [0,0,0] en 3D. En la imagen dibujo situación específica para la ilustración.

Primero conozco el punto G[x,y,z] y lo traslado al eje Z, donde la distancia al centro es el tamaño del vector g. Entonces los vectores g y gt forman un ángulo. Entonces obtengo un punto A y necesito rotarlo igual que rote G antes. Pero no se como. Creo que podría llamarse transformación del sistema de coordenadas.

He oído que debo utilizar la matriz de transformación. ¿Podría darme información detallada?

Answer 1

Necesitas saber el eje alrededor del cual vas a rotar. Se trata de una línea que pasa por $(0,0,0)$ así que todo lo que necesitas es un vector unitario paralelo a esta línea. Supongamos que este vector unitario es $\mathbf{u} = (u_x, u_y, u_z)$ . Entonces conectas este vector y tu ángulo $\theta$ en la fórmula dada en esta página de wikipedia para obtener la matriz de rotación.

Para rotar un punto determinado, basta con multiplicar sus coordenadas por esta matriz de rotación.

Answer 2

La respuesta de @bubba está totalmente bien. También ten en cuenta que puedes calcular tu eje de rotación tomando el producto cruzado de $G$ y $G_t$ . Suponiendo que $G=[x,y,z]$ y $G'=[x',y',z']$ las coordenadas de $G\times G_t$ vienen dadas por $$ G\times G_t = [yz'-y'z,\;zx'-z'x,\;xy'-x'y]. $$ También tenga en cuenta, que estos chicos son los menores de la siguiente matriz $$ \begin{bmatrix} * & * & * \\ x & y & z \\ x' & y' & z' \\ \end{bmatrix} $$ tomados con signo "+" o "-" como en la descomposición de Laplace. Esto también explica por qué el vector $G\times G_t$ es perpendicular a ambos $G$ y $G_t$ siendo linealmente independientes (pista: poner las coordenadas de $G$ o $G_t$ en lugar de los símbolos de estrella y ver qué pasa). Mucha suerte.