Subgrupo de índice primo

Question

Sea $G$ sea un grupo soluble y $p$ es un primo tal que $p\mid |G|$ . ¿Existe un subgrupo $H$ de $G$ tal que $[G:H]=p$ ?

Answer 1

En general, esto no es cierto. Por ejemplo $A_4$ se puede resolver con $|A_4|=12$ pero no tiene un subgrupo de orden 6 = 12/2.