Simplificación de radicales complejos a partir de una expresión trigonométrica

Question

¿Cómo evalúo $ sin(20)$ ¿Exactamente? [en grados]

Obtuve la relación entre $sin(x) $ y $sin(3x)$ donde $x = sin(x)$ y $ y = sin(3x)$

http://www.wolframalpha.com/input/?i=-4x%5E3+%2B+3x+%3D+y%2C+solve+for+x

Ahora estoy interesado en sustituir $sin(60) $ y avanzando, pero no estoy seguro de qué fórmula me dará una solución real.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=-4x%5E3+%2B+3x+%3D+%283%29%5E%281%2F2%29%2F2%2C+solve+for+x

Tengo curiosidad por saber cómo convertir este desastre en algo más limpio. Realmente me gustaría deshacerme de todos los números imaginarios, pero si eso no es posible, todavía siento que esto definitivamente puede ser de-nested en una forma más simple de ver, incluso si el recuento radical no se reduce.

He hecho un par de intentos de sustitución, pero mi respuesta parece cambiar cada vez que muevo algo dentro y fuera de la raíz cúbica.

Answer 1

No se puede obtener una expresión para esto utilizando radicales reales: véase http://en.wikipedia.org/wiki/Casus_irreducibilis

Answer 2

Así pues, la solución de esta ecuación correspondiente al valor real de $\sin(20˚)$ es dada por WA como la segunda solución en su segundo enlace como $$ x = -\frac{1-i \sqrt3}{2\cdot2^{2/3}} \left(-\sqrt{3}+i\right)^{1/3}-\frac14 \left(\frac12 (-\sqrt{3}+i)\right)^{1/3} (1+i \sqrt3) $$ Podemos reescribirlo como $$ x=\left[-\frac{1-i \sqrt3}{2\cdot2^{1/3}} -\frac14 (1+i \sqrt3)\right]\left(\frac12 (-\sqrt{3}+i)\right)^{1/3} $$ Esto a su vez se convierte en $$ x=\left[\left(-\frac14 -\frac1{2 \times2^{1/3} }\right) + \left(\frac1{2 \times2^{1/3} }-\frac14 \right)i\sqrt3\right] \left(\frac12 (-\sqrt{3}+i)\right)^{1/3} $$ Tal vez eso será un poco más fácil trabajar con