Topología: Límite de un conjunto

Question

Consideremos un conjunto $ D = \{ x \in \Bbb R^n\mid h(x) < 0 \} $ donde $ h:\Bbb R^n \to\Bbb R$ es una función continua.

¿Con qué condición puedo decir que el conjunto $ \{ x \in \Bbb R^n\mid h(x) = 0 \} $ es el límite de $ D $ ? O, lo que es lo mismo, $ \{ x \in \Bbb R^n | h(x) \leqslant 0 \} $ es el cierre de $ D $ ?

Mi conjetura inicial es que la solución de $ h(x) = 0 $ sólo tiene que formar una curva. ¿Pero es suficiente? Necesito una condición matemática rigurosa.

Gracias.

Answer 1

(1) $D=h^{-1}(-\infty,0)$ que es inverso de conjunto abierto, es abierto.

En $x_n\in D\rightarrow x$ entonces $h(x)=\lim\ h(x_n)$ desde $h$ es continua. Por lo tanto $h(x)\leq 0$ Eso es, $$\overline{D} \subseteq \{ x| h(x)\leq 0\}$$

(2) Tenga en cuenta que el la inclusión es adecuada : Consideremos una función $h$ cuya restricción a $\{x||x|\leq 1\}$ es $h(x)=|x|$ .

(3) Puesto que $D$ es abierto, por lo que cualquier punto de $D$ es un punto interior en $D$ . Además, $x\in \overline{D} - D$ puede ser un punto interior en $\overline{D}$ : $h(x)=-|x|$