La propiedad de los consecutivos no acepta la condición de partición

Question

Tengo la matriz a continuación:

$A=\begin{pmatrix} 0&1&0&0&0 \\ 0&1&1&1&1\\ 1&0&1&1&1\\ 1&0&0&1&0\\ 1&0&0&0&0\\ \end{pmatrix}.$

Cumple la propiedad de los consecutivos y, por tanto, es una matriz totalmente unimodular (TUM). La propiedad de las consecutivas se demuestra mediante el teorema de la partición, que establece que:

A es TU si para cada $Q \subset \{ 1,\cdots,m \}$ existe una partición $Q_1$ , $Q_2$ de $Q$ tal que:

$\sum_{i\in Q_1}a_{ij}-\sum_{i\in Q_2}a_{ij} \in \lbrace 0,\pm1 \rbrace$

Sin embargo, si elijo la tercera y la cuarta fila, la diferencia no puede ser inferior a 2. ¿Qué estoy entendiendo mal?

PD: Este es mi primer post, así que no estoy completamente seguro de las reglas. Por favor, avísenme si cometo algún error. Lo corregiré. Muchas gracias.

Answer 1

La condición de diferencia de sumas se aplica por separado a cada columna $j$ . En otras palabras, debería escribirse como $$\sum_{i\in Q_1}a_{ij}-\sum_{i\in Q_2}a_{ij} \in \lbrace 0,\pm1 \rbrace\quad \forall j.$$ Si fija $Q=\lbrace 3,4\rbrace$ entonces $Q_1 = \lbrace 3 \rbrace$ y $Q_2 = \lbrace 4 \rbrace$ (o viceversa). En el primer caso, las diferencias son $0,0,1,0,1.$