¿Por qué el (-1)-ésimo coeficiente de $f^n f'$ igual a 0, sin dividir por $n+1$ ?

Question

Dejemos que $R$ sea un anillo conmutativo, y $n$ sea un número entero no negativo. Sea $f\in R\left[t,t^{-1}\right]$ sea un polinomio de Laurent en una variable $t$ en $R$ (esto significa un $R$ -combinación lineal de términos de la forma $f^m$ con $m\in\mathbb Z$ tal que sólo un número finito de estos términos tiene coeficientes no nulos).

Dejamos que $f^{\prime}$ denotan la derivada de $f$ con respecto a $t$ , definida de manera formal: $f^{\prime} = \sum\limits_{m\in \mathbb Z} mf_m t^{m-1}$ , donde $f_m$ es el coeficiente de $f$ antes de $t^m$ .

Teorema: El coeficiente del polinomio de Laurent $f^n f^{\prime}$ antes de $t^{-1}$ es cero.

Permítanme esbozar el prueba estándar de este teorema, para mostrar lo que quiero evitar:

En primer lugar, es muy fácil verificar el Teorema en el caso $n=0$ . Por lo tanto, podemos aplicar el Teorema a $f^{n+1}$ y $0$ en lugar de $f$ y $n$ y concluir que el coeficiente del polinomio de Laurent $\left(f^{n+1}\right)^0 \left(f^{n+1}\right)^{\prime}$ antes de $t^{-1}$ es cero. Como

$\left(f^{n+1}\right)^0 \left(f^{n+1}\right)^{\prime} = \left(f^{n+1}\right)^{\prime} = \left(n+1\right)f^n f^{\prime}$ (por la identidad de Leibniz o la regla de la cadena, como se quiera),

esto da como resultado que el coeficiente del polinomio de Laurent $\left(n+1\right)f^n f^{\prime}$ antes de $t^{-1}$ es cero.

Ahora bien, si $n+1$ no es un divisor de cero en $R$ entonces se obtiene inmediatamente que el coeficiente del polinomio de Laurent $f^n f^{\prime}$ antes de $t^{-1}$ es cero. Por lo tanto, el Teorema se demuestra en el caso de que $n+1$ no es un divisor de cero en $R$ . En particular, el Teorema se demuestra en el caso de que $R$ es un anillo polinómico sobre $\mathbb Z$ . Pero como el enunciado del Teorema (para un valor dado de $n$ y para un grado superior y un grado inferior dados del polinomio de Laurent $f$ ) es un polinomio identidad en los coeficientes de $f$ , demostrándolo cuando $R$ es un anillo polinómico sobre $\mathbb Z$ implica automáticamente que es válida para cualquier anillo conmutativo $R$ (por un hecho elemental que tiene muchos nombres, entre ellos el "principio de permanencia de las identidades" ). Por lo tanto, el teorema queda demostrado.

Pregunta: ¿Existe una demostración (no demasiado larga ni fea) del Teorema que evite el uso del principio de permanencia de las identidades? Para $n=0$ y $n=1$ el Teorema puede demostrarse "expandiendo" el polinomio, pero parece que esto se complica para las $n$ 's. Creo que debería haber alguna inducción inteligente sobre $n$ argumento (quizás a través de la generalización del Teorema).

Answer 1

No creo que sea tan complicado hacerlo explícitamente. El coeficiente que quieres viene dado por $$\sum_{i_1+i_2+\dots+i_n+i_{n+1}=0}\left(i_{n+1}\prod_k f_{i_k}\right) \, ;$$ el $k$ El índice de esta suma proviene del $k$ El factor de $f$ en el producto original, mientras que el $(n+1)$ El índice St proviene del factor de derivación.

Ahora, combina todos los términos que contengan la misma combinación $\prod_k f_{i_k}$ permutada de alguna manera. Cada $i_k$ aparecerá como un coeficiente exactamente $n!$ veces, por lo que la condición $\sum i_k = 0$ significa que cada uno de estos términos combinados desaparece.

Answer 2

Si tu anillo es un dominio integral, recuerda que la característica del anillo debe ser un número primo, y que en ese caso, por el teorema del binomio aplicado inductivamente, $$(a_1 + \dots + a_k)^p = a_1^p + a_2^p + \dots + a_k^p,$$ (esto se conoce como el sueño del novato, que es un error común en los anillos de carácter $0$ hecho por los principiantes en el álgebra, pero es cierto en la característica $p$ ) lo que significa que la demostración del teorema para $n = 0, \dots, p-1$ es suficiente, porque para $n = p$ un número primo, obtenemos \begin {align*} f(x)^p (f'(x)) & = \left ( \sum_ {n \in \mathbb Z} f_n x^n \right )^p \left ( \sum_ {m \in \mathbb Z} m f_m x^{m-1} \right ) \\ & = \left ( \sum_ {n \in \mathbb Z} f_n^p x^{np} \right ) \left ( \sum_ {m \in \mathbb Z} m f_m x^{m-1} \right ) \\ & = \sum_ {n, m \in \mathbb Z} f_n^p f_m m x^{np+m-1} \end {align*} Los coeficientes antes de $x^{-1}$ son los que tienen un exponente de la forma $np+m-1 = -1$ pero en la característica $p$ Esto significa que $m = 0$ . Se puede ver fácilmente que los coeficientes de todos estos términos ( $f_n^p f_m m$ ) se desvanecerá.

No sé si se pasa tan fácilmente de la $p^{th}$ poderes ( $n = 2p, 3p, \dots$ ), pero esta es una idea para evitarlo. En los anillos que no son dominios integrales no tengo ni idea de qué hacer.

Espero que eso ayude,