Límite: $\lim_{n→∞}\frac{(n^5+2)^{1/4}−(n^2+1)^{1/3}} {(n^4+2)^{1/5}−(n^3+1)^{1/2}}$

Question

Límite: $$\lim_{n}\frac{(n^5+2)^{1/4}(n^2+1)^{1/3}} {(n^4+2)^{1/5}(n^3+1)^{1/2}}$$ Mi suposición sería dividir la parte superior por $n^5$ y fondo por $n^4$ ? Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Cada uno de los términos de esta expansión se comporta como una potencia de $n$ para grandes $n$ :

• $(n^5+2)^{1/4}\sim n^{5/4}$
• $(n^2+1)^{1/3}\sim n^{2/3}$
• $(n^4+2)^{1/5}\sim n^{4/5}$
• $(n^3+1)^{1/2}\sim n^{3/2}$

Podemos justificarlas observando que $(n^\alpha+c)^{1/k}=(n^\alpha(1+\frac{c}{n^\alpha}))^{1/k}=n^{\alpha/k}(1+\frac{c}{n^\alpha})^{1/k}\sim n^{\alpha/k}$ para $\alpha>0, n\to\infty$ .

Como tal, el numerador puede verse como $\sim n^{5/4}$ y el denominador es $\sim-n^{3/2}$ . Comparando los exponentes, vemos que el cociente debería tender a $0$ como $n\to\infty$ .