$a_i \mid r$ implica que $r = 0$ si $0 \leq r < a$ ?

Question

Si $x$ es cualquier múltiplo común de $a_1, a_2 \cdots a_n$ todos $\neq 0$ entonces demuestre que $[a_1, a_2,\ldots,a_n]$ divide $x$ . Nota, $[a_1, a_2,\ldots,a_n]$ es LCM.

La solución proporcionada en mi texto:

Sea $[a_1, a_2,\ldots,a_n] = a$

Escribimos $x = aq + r$ con $q, r$ que son números enteros y $0 \leq r < a$

Ahora $a_i$ divide $x$ y $a$ para cada $i$ . Esto significa que $a_i$ divide $x - aq = r$ . Pero $0 \leq r < a$ lo que implica que $r = 0$ . Por lo tanto $a | x$ .

Mi pregunta

Sigo la prueba en todas partes excepto donde se dice que si $a_i | r$ y $r < a$ entonces $r = 0$ . ¿No sería esto cierto sólo si $r < a_i \leq a$ ? De lo contrario, no tenemos garantía de que $r$ no es $> a_i$ . ¿O esto no es posible en primer lugar? ¿Me he perdido algo?

Answer 1

Por definición, $a$ es el menos múltiplo común del $a_i$ . Es decir, no hay ningún número entero positivo más pequeño que sea múltiplo de cada $a_i$ . Sabemos que $r$ es menor que $a$ y divisible por cada $a_i$ así que no puede ser positivo.