Si sé que el conjunto de funciones $\{\phi_n\}_1^\infty$ forma una base ortonormal en $L^2(a,b)$ y el conjunto $\{\psi_n\}_1^\infty$ es un conjunto ortonormal en $L^2(\frac{a-d}{c}, \frac{b-d}{c})$ con $c>0, d\in \mathbb{R}$ y se da que:
$$\psi_n(x) = \sqrt{c}\;\phi_n(cx+d),$$
entonces ¿cómo demuestro que el conjunto $\{\psi_n\}_1^\infty$ es una base ortonormal en $L^2(\frac{a-d}{c}, \frac{b-d}{c})$ ?
Se me da que si $f\in L^2(a,b)$ y el conjunto $\{\phi_n\}_1^\infty$ forma una base ortonormal en $L^2(a,b)$ entonces
$$||f||^2 = \sum_{n=1}^\infty\left| \langle f, \phi_n \rangle \right|^2= \sum_{n=1}^\infty\left| \int_a^bf(x)\overline{\phi_n(x)}\;dx \right|^2\;\;\;\;\text{(by Parseval's equation)}.$$
¿Cómo puedo demostrar en el caso de $\{\psi_n\}_1^\infty$ que si $f\in L^2(\frac{a-d}{c}, \frac{b-d}{c})$ entonces
$$||f||^2 = \sum_{n=1}^\infty\left| \langle f, \psi_n \rangle \right|^2= \sum_{n=1}^\infty\left| \int_{\frac{a-d}{c}}^{\frac{b-d}{c}}f(x)\overline{\psi_n(x)}\;dx \right|^2?$$
ACTUALIZACIÓN :
¿Debo utilizar lo siguiente para demostrarlo?
Sea $\{\textbf{u}_1, ..., \textbf{u}_k\}$ sea un conjunto ortonormal de $k$ vectores en $\mathbb{C}^k$ . Para cualquier $\textbf{a} \in \mathbb{C}^k$ que tenemos:
$$||\textbf{a}||^2 = |\langle \textbf{a}, \textbf{u}_1\rangle|^2 + \cdots |\langle \textbf{a}, \textbf{u}_k\rangle|^2.$$
¿Es suficiente utilizar este teorema en la demostración?
