Integral de $x e^{cx^3}$

Question

Cómo evaluar la integral indefinida $\int x e^{cx^3}$ . ¿Existe alguna forma general de solución para esta integral? ¿Alguna función en términos de función hipergeométrica o funciones similares? Aquí c es una constante positiva

Answer 1

Sugerencia

Tenemos $$\int xe^{cx^3}dx$$ Sea $cx^3=t\implies 3cx^2dx=dt\iff dx=\frac{t^{-2/3}dt}{3\sqrt[3]{c}}$ $$\int \left(\frac{t}{c}\right)^{1/3}e^{t}\frac{t^{-2/3}dt}{3\sqrt[3]{c}}$$ $$=\int \frac{e^{t}t^{-1/3}dt}{3c^{2/3}}$$ $$= \frac{1}{3c^{2/3}}\int t^{-1/3} e^{t}dt$$ Espero que pueda seguir resolviendo.

Answer 2

Empezar a cambiar de variable $$c x^3=-t$$ $$x=-\frac{\sqrt[3]{t}}{\sqrt[3]{c}}$$ $$dx=-\frac{1}{3 \sqrt[3]{c}\, t^{2/3}}\,dt$$ Todo ello da $$I=\int x e^{cx^3}\,dx=\frac{1}{3 c^{2/3}}\int t^{-1/3}{e^{-t}}\,dt$$ donde probablemente reconozcas la función gamma incompleta.