Sistema de congruencias y teorema chino del resto

Question

Encuentra todos los enteros que satisfacen este sistema de congruencias $$\begin{cases} x \equiv 2 \pmod 5\\ x \equiv 1 \pmod {10}\\ x \equiv 0 \pmod 3 \end{cases} $$

Creo que se utiliza el teorema chino del resto, pero no estoy seguro de cómo hacerlo.

Answer 1

Como, $5|10,$

$$x\equiv1\pmod{10}\implies x\equiv1\pmod5$$

De nuevo tenemos $x\equiv2\pmod 5$

Pero $1\not\equiv2\pmod5$

Por lo tanto, no habrá solución

Answer 2

Sugerencia $\ x\equiv 1\pmod{10}\,\Rightarrow\, x\equiv 1\pmod 5\ $ contra $\ x\equiv 2\pmod 5$

Observación $\ $ Generalmente podemos emplear el siguiente criterio para existencia de una solución

$$\begin{array}{} x\equiv a_1 \pmod{\!m_1 }\\ \quad \vdots \\ x\equiv a_k\pmod{\!m_k} \end{array}\ \text{is solvable}\ \iff\ \color{#c00}{a_i\equiv a_j}\!\!\!\! \pmod{\!\gcd(m_i,m_j)}\ \text{ for all }\ i,j$$

$(\Rightarrow)\ $ tiene una prueba fácil: $ $ si $\, d = \gcd(m_i,m_j)\,$ entonces $\,d\mid m_i,m_j\,$ así que $\ {\rm mod}\ d\!:\ \color{#c00}{a_i\equiv x\equiv a_j}\ $

Answer 3

Básicamente las dos equivalencias \begin{align} x &\equiv a \pmod A \\ x &\equiv b \pmod B \end{align} tienen una solución común si y sólo si $$a \equiv b \pmod{\gcd(A,B)}$$

En el caso de \begin{align} x &\equiv 2 \pmod 5\\ x &\equiv 1 \pmod {10}\\ x &\equiv 0 \pmod 3 \end{align}

Observamos que $1 \not \equiv 2 \pmod{\gcd(5,10)}$ por lo que no existe una solución común a las tres equivalencias.

Otro método consiste en reducir cada equivalencia en congruencias de primera potencia y, a continuación, eliminar las equivalencias redundantes. Si no hay congruencias contradictorias, lo que queda es susceptible de la CRT regular.

para su problema, $x \equiv 2 \pmod 5$ y $x \equiv 0 \pmod 3$ ya son congruencias de primera potencia. Dado que $10 = 2 \times 5$ podemos romper $x \equiv 1 \pmod {10}$ en las dos congruencias de primera potencia

\begin{align} x &\equiv 1 \pmod {2} \\ x &\equiv 1 \pmod {5} \end{align}

y observamos que $x \equiv 1 \pmod {5}$ y $x \equiv 2 \pmod {5}$ se contradicen entre sí. Así que, de nuevo, sabemos que el sistema de congruencias no tiene solución común.