Construcción de una función holomorfa en un disco

Question

¿Es posible construir una función holomorfa sobre $D(0,1)$ donde $D$ es el disco con centro $0$ y radio $1$ tal que $f(\frac{1}{n}) = z_n$ cuando $z_n = 0$ para incluso $n$ y $z_n$ = $\frac{1}{n}$ para impar $n$

Intento de solución: He anotado que como existe una sucesión convergente de puntos a $0$ en $\frac{1}{n}$ entonces $f = 0$ en todas partes en $D.$ ¿Implica esto que no existe tal función holomorfa porque para $n>0$ el eje real es una secuencia convergente para $\frac{1}{n}$ ?

Answer 1

No estoy seguro de lo que quiere decir con

el eje real es una secuencia convergente para $\frac{1}{n}$

pero, efectivamente no existe tal holomorfo $f$ . Sabiendo que $f(\frac{1}{2n})=0$ para todos $n$ la función tiene que ser idénticamente cero en $D(0,1)$ . Esto contradice los demás requisitos $f(\frac{1}{2n+1})=\frac{1}{2n+1}$ .