Sobre la equivalencia de varias definiciones del toroide

Question

Normalmente, el objeto topológico que recibe el nombre de toroide se define como el producto

$$T=S^1 \times S^1 $$

de dos círculos. Llamo a esto Definición (1)

Otra definición que he visto es la siguiente, Definición (2A)

Dibujamos un rectángulo, etiquetamos cada par de lados paralelos con letras, por ejemplo $a,$ $b,$ y asegúrate de que cada par de lados paralelos está orientado en la misma dirección. A continuación, cotejamos el rectángulo de modo que se identifiquen los lados paralelos. Lo que obtenemos es de nuevo el toroide.

Otra versión de esta última es la siguiente Definición (2B)

Consideramos en $\mathbb{R}^2$ el cuadrado unitario $[0,1]\times[0,1]$ y lo cotizamos por la relación que identifica $$(x,y)\sim (x',y') \iff (x=0,x'=1,y=y') \lor (y=0,y'=1,x=x')\lor (x=x',y=y') $$

Otra más, la definición (3A) es

Consideramos que $\mathbb{R}^2$ su grupo de homeomorfismos $H=\text{homeo}(\mathbb{R^2})$ y el subgrupo $G\subset H$ generados por las traslados $a:(x,y)\mapsto (x+1,y)$ $ \ $ $b:(x,y) \mapsto (x,y+1).$ Entonces definimos el Torus como el grupo $$T=\mathbb{R}^2/G$$ con la topología del cociente.

En relación con esto está la definición (3B)

Definimos el Torus como el cociente $$T= \mathbb{R}^2/\mathbb{Z}^2.$$

La cuestión principal es la siguiente

Quiero entender, de forma detallada y rigurosa, cómo ir y venir de cada una de estas definiciones a las demás.

Algunas preguntas más específicas relacionadas con la principal:

• En la segunda definición sólo consideramos un "rectángulo" como objeto topológico, pero ¿cómo se define? ¿Tenemos que verlo como un $[a,b] \times [c,d]$ integrado en $\mathbb{R}^2$ ? ¿Puedo definirlo sin incrustarlo en $\mathbb{R}^2?$
• Todavía pensando en la segunda definición, entiendo, a nivel intuitivo, que tenemos que considerar los lados paralelos del rectángulo "orientados en la misma dirección", porque de lo contrario, con orientaciones diferentes, obtendríamos un objeto completamente diferente como una esfera o la botella de Klein o una banda de Mobius. ¿Cómo se codifica esta elección de orientación, que nos da el toroide, en las otras definiciones? En particular, ¿por qué no necesitamos hablar de la orientación de los lados en la definición 2B?
• Observando la definición 3A, veo que las traducciones $a,b$ corresponden moralmente a las dos parejas de lados paralelos de las definiciones anteriores, y lo importante es que coinciden, es decir. $ab=ba$ que moralmente dice que los lados paralelos tienen la misma orientación. La conmutatividad de $a,b$ implica inmediatamente que $G$ es isomorfo como grupo a $\mathbb{Z}^2,$ pero no estoy seguro de que esto implique inmediatamente que $\mathbb{R}^2/G \simeq \mathbb{R}^2/\mathbb{Z}^2$ sin tener que decir nada más.

Answer 1

Sea $I$ sea un intervalo cerrado. Es conveniente asociarlo con $[0,1] \subset \Bbb{R}$ especialmente porque desearemos tratarlo como un espacio métrico además de como un espacio topológico. No es de extrañar que $I$ es homeomorfo a cualquier otro intervalo cerrado de $\Bbb{R}$ por lo que la elección de los puntos finales $0$ y $1$ no es esencial. A continuación, distinguiré entre $\Bbb{R}$ un espacio topológico sin métrica, y $\Bbb{E}$ la línea euclidiana, que es $\Bbb{R}$ dotado de la métrica habitual, $d(x,y) = |x-y|$ . (Esta distinción se considera a menudo superflua, ya que recordar "la $\Bbb{R}$ que he estado estudiando durante años siempre ha sido un espacio métrico y a veces simplemente optamos por olvidarnos de la métrica cuando estamos haciendo topología y luego de repente nos acordamos de ella cuando es conveniente hacerlo" parece ser fácil para la mayoría de nosotros).

$2 \leftrightarrow 1$

En geometría plana, rectángulo es un cuadrilátero con ángulos rectos en cada uno de sus cuatro ángulos y cada par de lados opuestos paralelos. "Ángulos rectos" y "paralelos" no tienen sentido en un espacio topológico. Además, en algunos 2-manifolds (un conjunto razonablemente grande de espacios en los que se podría tratar de hablar de un conformal (= ángulo de preservación) incrustación de un rectángulo) una figura geométrica hecha de (geodésica) segmentos de línea que giran a través de tres ángulos rectos puede cerrar (geometría esférica uniforme - dos vértices en el ecuador y un vértice en el polo norte). En otras (geometría hiperbólica uniforme) una figura geométrica formada por segmentos de recta (geodésicos) y tres ángulos rectos no se cierra en un ángulo recto (el primer y el cuarto segmento pueden no encontrarse o encontrarse en algún ángulo menor). Así que para obtener un rectángulo, el espacio tiene que ser plano donde tratamos de poner el rectángulo, por lo que podemos exigir uniformemente plana. Esto da una opción - un rectángulo siempre se encuentra en (algún subconjunto conectado) del plano euclidiano, $\Bbb{E}^2$ .

En un espacio métrico, podemos distinguir rectángulos diferentes por su orientación y la longitud de sus aristas, así que tres números. En un espacio topológico, un rectángulo y un círculo son indistinguibles y la arista longitud no tiene sentido, por lo que nuestros tres números son inútiles para distinguir rectángulos en $\Bbb{R}^2$ . (Se trata de un proceso en dos pasos: primero se incrusta el rectángulo en $\Bbb{E}^2$ entonces olvídate de la métrica y observa que tienes un montón de puntos en el espacio topológico $\Bbb{R}^2$ etiquetado "rectángulo"). Existen entonces varias nociones alternativas de equivalencia que se podrían aplicar -- la más estricta suele ser isotopía ambiental y cualquier rectángulo en el plano es isotópico ambiental a cualquier otro rectángulo. Así que en un espacio topológico, no perdemos nada por decidir que "rectángulo" significa $I \times I$ .

$I \times I = [0,1] \times [0,1] \subset \Bbb{E}^2$ su topología de producto es equivalente a su topología de subespacio heredada de $\Bbb{R}^2$ y su métrica producto es equivalente a su métrica subespacio heredada de $\Bbb{E}^2$ . El cociente especificado es una disyunción de tres términos. El primer término hace la identificación $(0,y) \sim (1,y)$ para $y \in I$ . El segundo término hace la identificación $(x,0) \sim (x,1)$ para $x \in I$ . (Estas opciones determinan la orientación de la identificación. También se podría hacer la identificación $(x,0) \sim (1-x,1)$ lo que invertiría la orientación de ese trozo del cociente.

El siguiente par de diagramas muestra mediante flechas cómo la identificación en el cociente preserva la orientación y cómo la alternativa propuesta invierte la orientación utilizando flechas desde puntos en el borde inferior al punto equivalente en el borde superior.

Tenga en cuenta que $I \times I$ es "para cada punto de una copia de $I$ una copia de $I$ "(con la topología del producto). Somos libres de decidir qué factor es qué copia en esa frase -- de hecho, podemos invertir nuestro punto de vista y obtener el mismo resultado. Esto significa que podemos tratar $I \times I$ como un haz de copias horizontales de $I$ o como un conjunto de copias verticales de $I$ .

Cuando aplicamos el $(x,0) \sim (x,1)$ equivalencia, cada línea del haz vertical tiene su punto final inferior identificado con su punto final superior, produciendo un círculo. Así que deteniéndonos temporalmente después de realizar esa parte del cociente, tenemos "para cada punto de la horizontal $I$ tenemos una vertical $S^1$ ". Si empezamos en $I \times I$ y en su lugar aplicar el $(0,y) \sim (1,y)$ parte de la equivalencia, obtenemos "para cada punto de la vertical $I$ tenemos una horizontal $S^1$ ". En ambos casos, tenemos un cilindro (sólo la parte curva, sin incluir los dos discos planos que normalmente se utilizan para rematar los extremos), cerrado ya que incluye los dos círculos en su límite. Cuando terminamos el cociente, todos los segmentos de recta verticales cotizan en una circunferencia y todos los segmentos de recta horizontales cotizan en una circunferencia y para cada punto de una familia de circunferencias, tenemos una circunferencia de la otra familia. Es decir, tenemos un $S^1 \times S^1$ .

Ahora supongamos que tenemos un $S^1 \times S^1$ . Este naturalmente vidas incrustadas en $\Bbb{R}^4$ (o $\Bbb{C}^2$ ) ya que el círculo unitario en las dos primeras coordenadas se cruza con el círculo unitario en las dos segundas coordenadas, $$ T^2 \simeq \{(a,b,c,d) \mid a^2 + b^2 = 1, c^2 + d^2 = 1\} \text{.} $$ Al incrustar un toroide en $\Bbb{R}^3$ tiene que tomar una decisión sobre qué $S^1$ factor corresponde a la longitud del toroide y qué factor corresponde al meridiano. No son intercambiables: la longitud delimita un disco exterior al toro y el meridiano un disco interior al toro. En el $\Bbb{R}^4$ versión, no necesitamos hacer tal distinción -- hay una rotación rígida de $\Bbb{R}^4$ que implementa $\{a \leftrightarrow c, b \leftrightarrow d\}$ La distinción entre los factores es superficial.

Como ya he dicho, también podemos expresarlo en $\Bbb{C}^2$ : $$ T^2 \simeq \{(w,z) \mid ||w|| = 1, ||z|| = 1 \} \text{.} $$ Pero para nuestro propósito, es mejor utilizar la representación polar de los números complejos, $$ T^2 \simeq \{(\mathrm{e}^{2\pi \mathrm{i} \theta}, \mathrm{e}^{2\pi \mathrm{i} \phi}) \mid \theta \in [0,1), \phi \in [0,1) \} \text{.} $$ Obsérvese que ya casi lo hemos conseguido: estamos cerca de que nuestros dos parámetros sólo varíen a lo largo del tiempo. $[0,1]$ sólo tenemos que deshacer el cociente. Empieza borrando el círculo $\theta = 0$ . Esto nos da un cilindro excluyendo sus círculos límites. Ahora haz dos copias del círculo que acabamos de eliminar, pega una a lo largo del $\theta = 0$ límite, y pegar el otro a lo largo del $\theta = 1$ límite. Esto da $I \times S^1$ . Ahora repita con $\phi$ sustitución de $\theta$ recortando una línea y pegando dos líneas, produciendo $I \times I$ . (En lugar de suprimir, podemos cortar para obtener $[0,1)$ para un factor, luego duplique el círculo o la línea en $0$ para pegar a la frontera en $1$ con lo que se obtiene un $I$ factor. Recordemos que cuando hacemos cualquier corte las dos nuevas componentes de frontera no están en ningún sentido "cerca" la una de la otra -- hemos escindido todos los conjuntos abiertos que cruzaban el corte).

(A partir de aquí, volviendo al toroide, empezamos con $I \times I$ identificar dos líneas, produciendo una línea (obteniendo $S^1 \times I$ ), luego identificar dos círculos, produciendo un círculo (obteniendo $S^1 \times S^1$ ), tal como hemos descrito al hablar de haces de líneas horizontales y verticales).

$3 \leftrightarrow \{1,2\}$

En este caso, será mucho mejor que los veas como mapas sobre $[0,1) \times [0,1)$ . A continuación, observe la vecindad de un pequeño disco abierto de un punto situado en el centro de este "cuadrado semiabierto" (lo suficientemente pequeño como para no encontrarse con una arista o esquina), dicho disco centrado en una arista (lo suficientemente pequeño como para no tocar otra arista o esquina) y dicho disco centrado en una esquina. Descubrirá que ha redescubierto el $\theta-\phi$ parametrización del toroide desde arriba. Es decir, los conjuntos abiertos revelarán los cocientes de los extremos de los haces de segmentos de línea horizontales y verticales semiabiertos.

$\Bbb{R}^2 /G \simeq \Bbb{R}^2 / \Bbb{Z}^2$

Felizmente, $\Bbb{R}^2$ es un espacio vectorial, por lo que si se eligen dos elementos cualesquiera no nulos linealmente independientes de $\Bbb{R}^2$ , digamos $\{\alpha, \beta\}$ entonces $$ \Bbb{R}^2 /G \simeq \Bbb{R}^2 / \langle \alpha, \beta \rangle \simeq \Bbb{R}^2 / \Bbb{Z}^2 \text{,} $$ donde $\Bbb{R}^2$ se trata como un grupo abeliano de vectores de desplazamiento, y $\langle \alpha, \beta \rangle$ es el subgrupo abeliano libre de $\Bbb{R}^2$ (equivalentemente, un módulo sobre el PID $\Bbb{Z}$ ) generado por $\alpha$ y $\beta$ . $G$ viene dado como el subgrupo abeliano libre abarcado por los dos vectores de desplazamiento $(1,0)$ y $(0,1)$ (o sus transposiciones, según cómo se considere este objeto), que son linealmente independientes. Puede ser útil observar que la matriz cuadrada de bloques $\left( \alpha \ \beta \right)$ es un mapa lineal invertible ("dos elementos linealmente independientes") que toma los generadores de $G$ a $\alpha$ y $\beta$ respectivamente. Un mapa lineal es un homeomorfismo. Los diversos paralelogramos con lados opuestos identificados (preservando la orientación) son todos equivalentes (al paralelogramo especial, $I \times I$ ). Hay que comprobar que los tres tipos de vecindarios cumplen los requisitos del cociente, como se ha comentado en el apartado anterior.

Answer 2

En primer lugar, si nos fijamos en $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ como grupo vemos que todos los cosets pueden ser representados por números en el rango $[0,1)$ que podemos identificar como la parte fraccionaria de $x$ o lo que hay después del punto decimal. Obsérvese que si elegimos un representante de este tipo, entonces todos los demás elementos de ese coset son de la forma $x+n$ para algún número entero $n$ por lo que si $x$ está en el coset, entonces $x+1$ está en el coset.

Podemos asignar este rango al círculo $S^1$ por $x \rightarrow e^{2\pi ix}$ el mapa exponencial habitual y se trata de un isomorfismo de grupo de $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ al círculo unitario en $\mathbb{C}$ . La multiplicación en el círculo unitario se convierte en "suma de relojes" en $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ de forma natural.

Tenemos representantes en $[0,1)$ en $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ pueden verse como puntos del círculo unitario complejo $S^1$ y que $x+1$ está siempre en el mismo coset que $x$ . Ahora sólo nos queda ver qué ocurre cuando pasamos a las dos dimensiones.

Así que ahora tenemos puntos de la forma $(x,y)$ en $\mathbb{R}^2/\mathbb{Z}^2 = (\mathbb{R}/\mathbb{Z})^2$ (¿por qué?) y podemos volver a elegir representantes de las porciones fraccionarias de $x$ y $y$ respectivamente. Esto significa que podemos limitar nuestra atención al cuadrado $[0,1) \times [0,1)$ que representa íntegramente al grupo, mientras que los cosets serán todas las copias trasladadas del mismo de la forma $(x + n, y +m)$ para $n,m \in \mathbb{Z}$ . Si mantenemos unos $y_0$ fijo entonces tenemos $(x_1,y_0) + (x_2,y_0) = (x_1 + x_2, 2y_0) = (x_1 + x_2, y_0)$ (porque $2y_0-y_0 \in \mathbb{Z})$ y así podemos ver una copia de $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ existe para cada $y_0$ es decir, cada línea vertical del cuadrado y cada línea horizontal del cuadrado es su propia "suma de relojes", que podemos identificar con un círculo. Dicho de otra manera, estamos tomando cada punto de un círculo y adjuntando un círculo a él, utilizando la multiplicación compleja en su lugar.

Pero ahora hemos terminado. Tenemos $\mathbb{R}^2/\mathbb{Z}$ el toro complejo $S^1 \times S^1$ y el grupo cociente formado por las traslaciones de la forma $(x + n, y + m)$ todos representan al mismo grupo. Mapa exponencial que convierte segmentos de línea en círculos y luego unimos un círculo a cada punto de un círculo para obtener el toroide habitual.