Una desigualdad con muchos sumandos.

Question

He encontrado una pregunta, pero no he podido resolverla. La pregunta es:

Sea k sea un número entero positivo y $x_1, x_2, ..., x_n$ sean números reales positivos. Demostrar que $$\left(\sum_{i=1}^n \frac{1}{1+x_i}\right)\left(\sum_{i=1}^n x_i\right)\le\left(\sum_{i=1}^n \frac{x_i^{k+1}}{1+x_i}\right)\left(\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i^k}\right) .$$ Intenté si podía utilizar de alguna manera la desigualdad de reordenación, pero debido a los poderes, no pude aplicarla. Por favor, sugiera algún método para resolver esto.

Answer 1

En primer lugar, sin pérdida de generalidad, renumeremos los reales en orden ascendente, es decir $x_0 \le x_1 \le \cdots \le x_n$ .

A continuación, escriba la pregunta como $$ \sum_{i,j=0}^n \frac{x_j}{1+x_i}\le \sum_{i,j=0}^n \frac{x_j}{1+x_i} \Big[\frac{x_i}{x_j}\Big]^{k+1} $$ Llamemos $w_{i,j} = \Big[\frac{x_i}{x_j}\Big]^{k+1}$ . Los términos diagonales son iguales, por lo que se puede escribir $$ \sum_{i>j} (\frac{x_j}{1+x_i} + \frac{x_i}{1+x_j})\le \sum_{i>j} (w_{i,j} \frac{x_j}{1+x_i} + \frac{1}{w_{i,j}}\frac{x_i}{1+x_j}) $$ o $$ \sum_{i>j} \frac{ x_j (1+x_j) + x_i (1+x_i)}{(1+x_i)(1+x_j)} \le \sum_{i>j} \frac{w_{i,j} x_j (1+x_j) + \frac{1}{w_{i,j}} x_i (1+x_i)}{(1+x_i)(1+x_j)} $$ Ahora podemos inspeccionar esto para cada término de la suma. Si podemos mostrar la desigualdad para cada término hemos terminado. Esto se lee: $$x_j (1+x_j) + x_i (1+x_i) \le w_{i,j} x_j (1+x_j) + \frac{1}{w_{i,j}} x_i (1+x_i)$$ lo que también es cierto si se cumplen las dos desigualdades: $$x_j + x_i \le w_{i,j} x_j + \frac{1}{w_{i,j}} x_i \\ x_j^2 + x_i^2 \le w_{i,j} x_j^2 + \frac{1}{w_{i,j}} x_i^2 $$ Ahora bien, estas desigualdades son de la forma $a + b \le a w + b \frac1w $ . ¿Cuándo se mantienen? Algunas equivalencias sencillas: sea $c = b/a \ge 1$ (véase más adelante que efectivamente $c \ge 1$ ), entonces $$ a + b \le a w + b \frac1w \\ \leftrightarrow c + 1\le w + c \frac1w\\ \leftrightarrow 0 \le w^2 - (c + 1)w + c\\ \leftrightarrow 0 \le (w- \frac12 (c + 1))^2 - \frac14 (c + 1)^2 + c\\ \leftrightarrow \frac14 (c - 1)^2 \le (w- \frac12 (c + 1))^2 \\ \leftrightarrow \frac12 (c - 1) + \frac12 (c + 1) \le w \\ \leftrightarrow c \le w \\ $$ De ahí la necesidad de restablecer las variables: $$x_j + x_i \le w_{i,j} x_j + \frac{1}{w_{i,j}} x_i \\ \leftrightarrow c = \frac{x_i}{x_j} \le w_{i,j} = \Big[\frac{x_i}{x_j}\Big]^{k+1} $$ que es cierto para todos $k \ge 0$ ya que $c\ge 1 $ ou $x_i \ge x_j$ ya que consideramos la suma $\sum_{i>j} $ y los reales se numeran en orden ascendente.

Del mismo modo, la segunda desigualdad es: $$x_j^2 + x_i^2 \le w_{i,j} x_j^2 + \frac{1}{w_{i,j}} x_i^2 \\ \leftrightarrow \frac{x_i^2}{x_j^2} \le w_{i,j} = \Big[\frac{x_i}{x_j}\Big]^{k+1} $$ que es cierto para todos $k \ge 1$ . Por lo tanto $k \ge 1$ es la condición más estricta, que se da desde el $k$ son enteros positivos. $ \qquad \Box$

Answer 2

Por Muirhead obtenemos: $$\sum \frac{x_i^{k+1}}{1+x_i}\sum\frac{1}{x_i^k}-\sum\frac{1}{1+x_i}\sum x_i=$$ $$=\frac{1}{4}\sum_{i\neq j}\left(\frac{x_i^{k+1}}{(1+x_i)x_j^k}+\frac{x_j^{k+1}}{(1+x_j)x_i^k}-\frac{x_i}{1+x_j}-\frac{x_j}{1+x_i}\right)=$$ $$=\frac{1}{4}\sum_{i\neq j}\frac{x_i^{2k+1}(1+x_j)+x_j^{2k+1}(1+x_i)-x_i^kx_j^k(x_i+x_j+x_i^2+x_j^2)}{(1+x_i)(1+x_j)x_i^kx_j^k}=$$ $$=\frac{1}{4}\sum_{i\neq j}\tfrac{\left(x_i^{2k+1}+x_j^{2k+1}-x_i^{k+1}x_j^k-x_i^kx_j^{k+1}\right)+\left(x_i^{2k+1}x_j+x_j^{2k+1}x_i-x_i^{k+2}x_j^k-x_i^kx_j^{k+2}\right)}{(1+x_i)(1+x_j)x_i^kx_j^k}\geq0.$$