f(a) = inverso de a es un isomorfismo si un grupo G es abeliano

Question

$G$ es un grupo y $f:G \rightarrow G$ es una función definida como $f(a)=a^{-1}$ donde $a^{-1}$ es la inversa de $a$ bajo la operación de grupo. Demostrar que $f$ es un isomorfismo si y sólo si $G$ es abeliano.

Entiendo que tengo que demostrar $f(ab)=(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$ . ¿Cómo podría hacerlo?

Referencia: Fraleigh p. 49 Pregunta 4.40 en A First Course in Abstract Algebra

Answer 1

Obsérvese en primer lugar que se trata de una biyección de $G$ en $G$ pase lo que pase. Así que esto se reduce a $G$ Abeliano si y sólo si $f$ es un homorfismo.

Si $G$ es abeliano, creo que se puede demostrar que $f$ es un homomorfismo.

Ahora bien $f$ es un homomorfismo $$ ab=(a^{-1})^{-1}(b^{-1})^{-1}=(b^{-1}a^{-1})^{-1}=(f(b)f(a))^{-1}=(f(ba))^{-1}=((ba)^{-1})^{-1}=ba. $$

Answer 2

Pista: No, nosotros siempre tener eso $f(ab)=(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$ . (Una de las direcciones de) lo que tienes que probar es que, si $G$ es abeliano, $$b^{-1}a^{-1}=(ab)^{-1}=\underset{\substack{\text{what it means for $ f $}\\\text{to be a homomorphism}}}{\fbox{$ f(ab)=f(a)f(b) $}}=a^{-1}b^{-1}$$

Answer 3

CONSEJO: Tienes que demostrar dos cosas:

1. Si $G$ es abeliano, entonces $f(ab)=f(a)f(b)$ para todos $a,b\in G$ lo que significa que $(ab)^{-1}=a^{-1}b^{-1}$ para todos $a,b\in G$ .

2. Si $f(ab)=f(a)f(b)$ para todos $a,b\in G$ es decir, si $(ab)^{-1}=a^{-1}b^{-1}$ para todos $a,b\in G$ entonces $G$ es abeliano.

Sólo se necesita un hecho básico para ambos: que en cualquier grupo $(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$ .

Answer 4

$f\colon G G$ definido por $f(x)=x^-1$ $f$ isomorfismo $$ f es un homomorfismo 1-1 $ x,yG, xy = ((xy)^{-1})^{-1} = ((y^{-1})(x^{-1}))^{-1} = (f(y)(x))^{-1} = f(yx)^{-1}$ ( $f$ es un homomorfismo) $= ((yx)^{-1})^{-1}$ (mediante la definición de mapas) $= yx ( (a^{-1})^{-1} = a) xy = yx G$ es abeliano