Sea $f(x)=x\cos(x)$ ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?

Question

1. Sea $f(x) = x\cos x$ para $x\in\mathbb R$ . Entonces
   $\quad$ (A) Existe una secuencia $x_n\to -\infty$ tal que $f(x_n)\to 0$ .
   $\quad$ (B) Existe una secuencia $x_n \to \infty$ tal que $f(x_n)\to\infty.$
   $\quad$ (C) Existe una secuencia $x_n \to\infty$ tal que $f(x_n)\to-\infty$ .
   $\quad$ (D) $f$ es una función continua uniforme.

Fuente.

Si tomo la secuencia $-n$ La primera opción es cierta. ¿Y las otras opciones?

Merci.

Answer 1

Si graficas la función verás que la función se contonea en forma de pajarita. Así que puedes elegir secuencias que vayan en cualquier dirección ( $x_n \rightarrow _-^+ \infty$ ) tal que $ f(x_n)$ irá a $_-^+ \infty$ o 0.

Answer 2

A) es cierto, si elige $x_n = \pi/2 - n\pi$ obtienes $f(X)=0$ para cada $x$ real. B) es cierta, si eliges $x_n = 2n\pi$ $f$ va a $+\infty$ desde $cos=1$ . $C)$ es cierto, si eliges $x_n = (2n + 1)\pi$ $f$ va a $-\infty$ desde $cos = -1$ . D) es una causa falsa $f'(X) = cosX - XsinX \simeq -X$ para elegir bien $X$ cada vez más grande.