¿Por qué íbamos a priori esperar $V(I)$ a satisfacer los axiomas para definir los conjuntos cerrados para una topología en $\text{Proj}(S)$?

Question

El espacio topológico $\text{Proj}(S)$ tiene el conjunto subyacente$$\text{Proj}(S) = \{\mathfrak{p} \text{ a homogeneous prime such that }S_+ \not\subseteq \mathfrak{p}\},$$and the closed sets are the loci $V(I) = \{\mathfrak{p} \\text{Value}(S) : I \subseteq \mathfrak{p}\}$ for homogeneous ideals $I$ of $S$, where $S$ is an $\mathbf{N}$-graded ring. Perhaps this question is a bit silly since its such a straightforward check, but why would we a priori, intuitively and/or geometrically, expect such $V(I)$'s to satisfy the axioms to define the closed sets for a topology on $\text{Value}(S)$?

Edit: El comentario Gracioso menciona esquemas. Podría haber una explicación que trata de evitar esquemas si es posible?

Edit: Alguien escribió una perfectamente buena respuesta sólo se han eliminado? Por qué?

Answer 1

El origen de esta definición es sin duda variedades proyectivas más de una, digamos, algebraicamente cerrado campo de $k$: Estos son los conjuntos de la forma $V(I)$ $I\subseteq k[x_0,\ldots,x_n]$ homogéneo ideal y $$V(I)=\left\{ [p_0:\ldots:p_n]\in\mathbb P^n_k \mid \forall d~\forall f\in I_d\colon f(p_0,\ldots,p_n)=0 \right\}.$$ La observación (una implicación de los proyectivos Nullstellensatz) es que hay una correspondencia uno a uno entre los puntos de $p=[p_0:\ldots:p_n]\in V(I)$ y máximo correspondientes homogéneos ideales, donde $p$ corresponde a la ideal $$M_p = \langle x_ip_j - x_jp_i \mid 0\le i,j\le n \rangle.$$ Tenga en cuenta que $V(M_p)=\{p\}$. Con esta correspondencia, además, hemos $p\in V(I)$ si y sólo si $I\subseteq M_p$. Por lo tanto, podamos dar el conjunto de la máxima homogéneos ideales de $k[x_0,\ldots,x_n]$ la topología de Zariski en $\mathbb P_k^n$ y los conjuntos cerrados son precisamente los conjuntos de la forma $$\mathcal V(I)=\{ M\subseteq k[x_0,\ldots,x_n]\text{ homog. max. relevant ideal} \mid I\subseteq M \}$$

El paso de sólo la máxima ideales para el primer ideales es una abstracción (y, de hecho, una simplificación) que a menudo es útil en la geometría algebraica.

Edit 1: estoy confundido por el voto de la controversia. Yo mismo no estaba muy seguro de si esto responde a la OP de la pregunta. Por favor, chicos, proveer de algunos comentarios.

Edit 2: Ya que la recompensa dice "Buscando una respuesta dibujo de creíble y/o de fuentes oficiales", me sugiere el final de "¿Qué es la geometría algebraica?" en Hartshorne del libro. El párrafo que empieza en la parte inferior de la página 58, que tiene relación con lo que he dicho.

Alternativamente, el comienzo de la II.2 Esquemas es en este espíritu:

"[...] a cualquier anillo de $A$ (recuerdo convenciones acerca de los anillos de hecho en la Introducción!) podemos asociar un espacio topológico, junto con una gavilla de anillos en él, llamado $\operatorname{Spec} A$. Esta construcción es paralela a la construcción de afín variedades (I, §1), excepto que los puntos de $\operatorname{Spec} A$ corresponden a todos los que prime ideales de Una, no sólo la máxima ideales".

Answer 2

Como Jesko dice, esta definición comienza con polinomios sobre un algebraicamente cerrado campo de $k$. Uno define la topología de Zariski en $k^n$ tener conjuntos cerrados $\{ (z_1, \ldots, z_n) : f_1(z) = f_2(z) = \cdots = f_r(z) = 0 \}$ para algunos de la lista de polinomios $f_1$, ..., $f_r$. ¿Por qué debería ser la definición? Queremos que los polinomios de ser continua en los mapas de $k^n \to k$, y queremos que $\{ 0 \}$ a ser cerrado en $k$, por lo que estos conjuntos tienen que ser cerrados. Si $k$ no tiene ninguna estructura adicional, no hay nada más que a nosotros nos gustaría, obviamente, quieren ser cerrado, y esto ya es suficiente para dar una topología.

Ahora, si $f_1(z) = f_2(z) = \cdots = f_r(z) = 0$, $\sum f_i(z) g_i(z)=0$ para cualquier polinomios $g_i$, por lo que este conjunto cerrado, sólo depende de los ideales generados por la $f_i$. Así que le hemos asignado un subconjunto cerrado $Z(I)$ $k^n$ a de todos los ideales $I \subseteq k[x_1, \ldots, x_n]$. Tenemos $Z(I) = Z(J)$ si y sólo si $\sqrt{I} = \sqrt{J}$ (este es el Nullstellansatz).

¿Cómo podemos intrínsecamente describen $k^n$, acaba de dar a $k[x_1,\ldots, x_n]$ como un resumen de anillo? Resulta que (otra forma de la Nullstellansatz), que cada ideal maximal de a $k[x_1,\ldots, x_n]$ es de la forma $\langle x_1-a_1, \ldots, x_n - a_n \rangle$ para $(a_1, \ldots, a_n) \in k^n$. Así, para un anillo arbitrario $A$, se asocia el conjunto $\mathrm{MaxSpec}(A)$ de los máximos ideales de la $A$. Para cada ideal $I \subset A$, podemos definir un subconjunto cerrado $Z_{\max}(I)$ de la máxima ideales por $Z_{\max}(I) = \{ \mathfrak{m} : \mathfrak{m} \supseteq I \}$, y esto recrea la definición aportada por $k[x_1,\ldots, x_n]$.

Pero, en general anillo, no tenemos que $Z_{\max}(I) = Z_{\max}(Z)$ implica $\sqrt{I} = \sqrt{J}$. Por ejemplo, supongamos $A$ ser la localización de $k[t]$ en el primer ideal $(t)$. A continuación, $\mathrm{MaxSpec}(A)$ tiene sólo un punto (el ideal maximal $(t)$), y tanto $Z_{\max}((0))$ $Z_{\max}((t))$ contienen ese punto. Utilizando el primer ideales en lugar de máxima ideales corrige este problema.

Entonces, finalmente, queremos ir a la homogénea caso con el fin de trabajar con proyectiva espacio, en lugar de espacio afín.