De vez en cuando me encuentro con una suma doble que podría cambiarse a otra forma y simplificar alguna expresión. Tengo una situación en la que me encuentro ahora mismo que debería poder beneficiarse, pero no estoy seguro de cómo hacer rigurosamente un cambio apropiado de variables. En concreto, tengo la siguiente suma:
$$\frac{1}{2}\sum_{\substack{n = 1 \\n \text{ odd}}}^{\infty} \sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!} \frac{x^{n-k}}{(n-k)!}$$
y quiero demostrar que es equivalente a
$$\left(\sum_{\substack{i = 1 \\i \text{ odd}}}^\infty \frac{x^i}{i!}\right) \left(\sum_{\substack{j = 0 \\j \text{ even}}}^\infty \frac{x^j}{j!}\right)$$
¿Cómo puedo hacer un cambio de variables índice para pasar de la primera ecuación a la segunda y viceversa? Lo que pienso para pasar de la segunda ecuación a la primera es observar que $ 1 \leq i \leq \infty$ y $0 \leq j \leq \infty$ lo que implica que $1 \leq i+j \leq \infty$ por lo que elegir $i+j=n$ nos da que $1 \leq n \leq \infty$ y que $n$ es impar ya que $i+j$ debe ser siempre impar. Entonces parece que tal vez pueda usar el hecho de que $1 \leq i \leq n \leq \infty$ y $0 \leq j \leq n \leq \infty$ decir que $k$ debe ser la unión de $i$ y $j$ hasta $n$ lo que implica que $0 \leq k \leq n$ .
Sin embargo, lo anterior no parece lo suficientemente riguroso, así que ¿alguien puede sugerir una mejor manera de, en general, ir entre estas diferentes variables de índice en situaciones como ésta? ¿Debería intentar encontrar alguna biyección entre los conjuntos de índices y, en caso afirmativo, existe una forma clara de hacerlo?
[Edit 1]
Después de revisar este problema, utilicé pasos similares a los anteriores, excepto que descubrí que cometí un error lógico. En primer lugar, considere la siguiente simplificación
\begin{align} \left(\sum_{\substack{i = 1 \\i \text{ odd}}}^\infty \frac{x^i}{i!}\right) \left(\sum_{\substack{j = 0 \\j \text{ even}}}^\infty \frac{x^j}{j!}\right) &= \sum_{\substack{i = 1 \\i \text{ odd}}}^\infty \sum_{\substack{j = 0 \\j \text{ even}}}^\infty \frac{x^{i+j}}{i! j!} \\ &= \sum_{\substack{i = 1 \\i \text{ odd}}}^\infty \sum_{\substack{j = 0 \\j \text{ even}}}^\infty \binom{i+j}{i}\frac{x^{i+j}}{(i+j)!} \\ \end{align}
Con esta simplificación en la mano, hacer un análisis similar al anterior donde utilizamos el hecho de que $1 \leq i \leq \infty$ y $0 \leq j \leq \infty$ para encontrar que $1 \leq i+j \leq \infty$ y, a continuación, elegir una nueva variable $n = i+j$ que se sabe que es impar desde $i$ es impar y $j$ es par. Entonces sabemos que $1 \leq i \leq n$ con $i$ resto impar, que nos da esa
\begin{align} \sum_{\substack{i = 1 \\i \text{ odd}}}^\infty \sum_{\substack{j = 0 \\j \text{ even}}}^\infty \binom{i+j}{i}\frac{x^{i+j}}{(i+j)!} &= \sum_{\substack{n = 1 \\n \text{ odd}}}^\infty \sum_{\substack{i = 1 \\i \text{ odd}}}^n\binom{n}{i}\frac{x^{n}}{n!} \\ &= \sum_{\substack{n = 1 \\n \text{ odd}}}^\infty \frac{x^{n}}{n!} \sum_{\substack{i = 1 \\i \text{ odd}}}^n\binom{n}{i} \end{align}
La última observación procede de la suma interna $\sum_{\substack{i = 1 \\i \text{ odd}}}^n\binom{n}{i}$ . Desde $n$ es impar, sabemos que hay un número par de enteros de $0$ a $n$ de los cuales la mitad son Impares y la otra mitad pares. Si consideramos la suma $\sum_{\substack{i = 0 \\i \text{ even}}}^n\binom{n}{i}$ podemos reconocer que
\begin{align} \sum_{\substack{i = 0 \\i \text{ even}}}^n\binom{n}{i} &= \sum_{\substack{i = 0 \\i \text{ even}}}^n\binom{n}{n-i} \\ &= \sum_{\substack{j = 1 \\j \text{ odd}}}^n\binom{n}{j} \end{align}
donde observamos que $n-i = j$ es un número impar para cada $i$ en esa suma. Por lo tanto, esta suma es equivalente a la suma interna que ya tenemos y sabemos que
$$\sum_{\substack{i = 0 \\i \text{ even}}}^n\binom{n}{i} + \sum_{\substack{i = 1 \\i \text{ odd}}}^n\binom{n}{i} = \sum_{i=0}^n\binom{n}{i} $$
lo que implica que
$$\sum_{\substack{i = 1 \\i \text{ odd}}}^n\binom{n}{i} = \frac{1}{2}\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}$$
Esto nos da entonces que nuestra suma de intereses es igual a
\begin{align} \sum_{\substack{i = 1 \\i \text{ odd}}}^\infty \sum_{\substack{j = 0 \\j \text{ even}}}^\infty \binom{i+j}{i}\frac{x^{i+j}}{(i+j)!} &= \frac{1}{2}\sum_{\substack{n = 1 \\n \text{ odd}}}^\infty \frac{x^{n}}{n!} \sum_{i=0}^n\binom{n}{i} \\ &= \frac{1}{2}\sum_{\substack{n = 1 \\n \text{ odd}}}^\infty \sum_{i=0}^n \frac{x^i}{i!} \frac{x^{n-i}}{(n-i)!} \end{align}
que muestra la igualdad deseada. Por lo tanto, mi pensamiento original de que transformar los indicies de la suma era lo único necesario para llegar a la igualdad no era correcto, también había que hacer uso de la unimodalidad de los coeficientes binomiales.
