Aplicaciones de los Pequeños y Grandes Teoremas de Picard

Question

He completado los dos famosos teoremas de Picard, presentando sus pruebas en un curso de postgrado de Análisis Complejo, pero no he conseguido descubrir un buen número de aplicaciones interesantes.

Lista de aplicaciones (aunque bastante sencilla):

1. Si una función meromorfa sobre $\mathbb C$ pierde tres valores, entonces es constante.

2. La ecuación $f^3+g^3=1$ tiene meromorfos no triviales en $\mathbb C$ soluciones sólo si $n\le 3$ .

3. Si $f$ es entera y unívoca, entonces es lineal.

4. Si $f,g$ están completos y $g'=f(g)$ entonces $f$ es lineal o $g$ es constante.

¿Podría aportar alguna aplicación interesante de estos teoremas?

Answer 1

Una consecuencia interesante es que si $X = \mathbf{P}^1(\mathbb C)-\{p_1, \dots, p_n\}$ es la esfera de Riemann con $n$ pinchazos, entonces $\widetilde X$ el espacio de cobertura universal de $X$ es el plano medio superior de $n\geq 3$ . Efectivamente, $\widetilde X$ debe ser de conexión simple, y por el teorema de Riemann es o bien $\mathbf{P^1}(\mathbb C)$ , $\mathbb C$ o el plano medio superior $\mathfrak h$ . No puede ser $\mathbf{P^1}(\mathbb C)$ porque $X$ no es compacto; no se puede $\mathbb C$ por el teorema de Picard; por lo tanto es $\mathfrak h$ .

Corolario : Para cada $n \geq 3$ , $\text{PSL}_2(\mathbb R)$ contiene una copia de $F_n$ el grupo libre en $n$ (y, por tanto, también para $n=2$ ).

De hecho, esto se deduce de la teoría de los espacios de cobertura; el grupo de transformación de cubierta de $\widetilde X \to X$ es $\pi_1(X)\cong F_n$ . Por otra parte, $\text{Aut}(\mathfrak h) \cong \text{PSL}_2(\mathbb R)$ .