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¿Cuál es el trazado de este mapa?

Sea g sea un álgebra de Lie y Q+ el conjunto de pesos dominantes. Para cada λQ+ existe un irreducible g -módulo Vλ con mayor peso λ . Sea λ,μQ+ , φ:Homg(Vμ,VλVλ)Homg(Vμ,VλVλ) sea un mapa lineal dado por fτf donde τ es el mapa de volteo. Tenemos VλVλ=S2(Vλ)Λ2(Vλ) .

¿Tenemos trφ=mμ(S2(Vλ))mμ(Λ2(Vλ)) ? Aquí mμ(S2(Vλ))=dimHomg(Vμ,S2(Vλ)) , mμ(Λ2(Vλ))=dimHomg(Vμ,Λ2(Vλ)) .

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Darya Puntos 11

Sí. Podemos elegir la base de Homg(Vμ,S2Vλ)
y ampliarlo con una base de Homg(Vμ,Λ2Vλ). Puesto que tenemos f=fS+fA para todos los homomorfismos en Vλ obtenemos una base del conjunto Homg(Vμ,2Vλ) . Entonces la traza de φ (que no es más que la otra cara τ restringido a Homg(Vμ,2Vλ) ) se ve fácilmente que es lo que has sugerido.

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