¿Cuál es el trazado de este mapa?

Question

Sea $g$ sea un álgebra de Lie y $Q^+$ el conjunto de pesos dominantes. Para cada $\lambda \in Q^+$ existe un irreducible $g$ -módulo $V_{\lambda}$ con mayor peso $\lambda$ . Sea $\lambda, \mu \in Q^+$ , $\varphi: Hom_g(V_{\mu}, V_{\lambda} \otimes V_{\lambda}) \to Hom_g(V_{\mu}, V_{\lambda} \otimes V_{\lambda})$ sea un mapa lineal dado por $f \mapsto \tau f$ donde $\tau$ es el mapa de volteo. Tenemos $V_{\lambda} \otimes V_{\lambda} = S^2(V_{\lambda}) \oplus \Lambda^2(V_{\lambda})$ .

¿Tenemos $tr \varphi = m_{\mu}(S^2(V_{\lambda}))-m_{\mu}(\Lambda^2(V_{\lambda}))$ ? Aquí $m_{\mu}(S^2(V_{\lambda}))=\dim Hom_{g}(V_{\mu}, S^2(V_{\lambda}))$ , $m_{\mu}(\Lambda^2(V_{\lambda}))=\dim Hom_{g}(V_{\mu}, \Lambda^2(V_{\lambda}))$ .

Answer 1

Sí. Podemos elegir la base de $\mathrm{Hom}_\mathfrak{g}(V_{\mu}, S^2V_{\lambda})$
y ampliarlo con una base de $\mathrm{Hom}_\mathfrak{g}(V_{\mu}, \Lambda^2V_{\lambda}).$ Puesto que tenemos $f = f^S + f^A$ para todos los homomorfismos en $\bigotimes V_\lambda$ obtenemos una base del conjunto $\mathrm{Hom}_\mathfrak{g}(V_{\mu}, \bigotimes^2V_{\lambda})$ . Entonces la traza de $\varphi$ (que no es más que la otra cara $\tau$ restringido a $\mathrm{Hom}_\mathfrak{g}(V_{\mu}, \bigotimes^2V_{\lambda})$ ) se ve fácilmente que es lo que has sugerido.