Encontrar una EDO lineal de primer orden o de segundo orden con solución $y=\cos(x)$

Question

Intento encontrar una EDO lineal ( $y'+ay=0$ ou $y''+ay'+by=0$ ) con solución $y=\cos(x)$ . Sin embargo, necesito encontrar la EDO lineal con el mínimo orden posible que tenga esta solución. Sé que $y''+y=0$ tiene solución $y=A\cos(x)+B\sin(x)$ donde $A$ y $B$ ¿Existe alguna EDO de primer orden cuya solución sea $y=\cos(x)$ y si no existe tal ecuación, ¿cómo probarlo? Gracias de antemano.

Answer 1

Si $a$ es constante, entonces $y(x)=Ae^{-ax}$ y es siempre cero o nunca cero.
Si $a$ no es constante, entonces sabes $y$ y $y'$ Así que...

Answer 2

Una ED de primer orden con coeficientes constantes no puede tener $\cos x$ como solución. Sin embargo, consideremos la DE lineal de primer orden $$y'+(\tan x) y=0.$$ Si $x$ está convenientemente restringido, esto tiene $y=\cos x$ como solución.