Supongamos una v.r. $\mu$ se distribuye Normal $N(\theta,\sigma^2)$ . ¿Hay alguna manera de derivar la expectativa $\mathbb{E}(\frac{\mu}{\Phi(\mu)})$ donde $\Phi$ es la FDA de una variable aleatoria Normal estándar.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Dasherman
Puntos
875
Esto diverge a $-\infty.$ Escriba a $$\mathbb{E}[\mu/\Phi(\mu)] = \mathbb{E}[1_{\{\mu\geq 0\}}\mu/\Phi(\mu)] + \mathbb{E}[1_{\{\mu< 0\}}\mu/\Phi(\mu)].$$ Si $\mu\geq 0,$ tenemos $\Phi(\mu)\geq 1/2$ y por lo tanto $\mu/\Phi(\mu)\leq 2\mu.$ Por lo tanto, el primer término puede ser acotado: $$\mathbb{E}[1_{\{\mu\geq 0\}}\mu/\Phi(\mu)] \leq 2\mathbb{E}[1_{\{\mu\geq 0\}}\mu]<\infty.$$
Para el segundo término utilizamos el siguiente límite para $t<0$ : $$\Phi(t) < \frac{1}{-t\sqrt{2\pi}}e^{-t^2/2}.$$ Véase por ejemplo aquí: https://www.johndcook.com/blog/norm-dist-bounds/ .
Por lo tanto, $$\mathbb{E}[1_{\{\mu< 0\}}\mu/\Phi(\mu)]\leq \mathbb{E}\left[1_{\{\mu< 0\}}\frac{\mu}{\frac{1}{-\mu\sqrt{2\pi}}e^{-\mu^2/2}}\right] = -\sqrt{2\pi}\cdot\mathbb{E}\left[1_{\{\mu< 0\}}e^{\mu^2/2}\right] = -2\sqrt{2\pi}\mathbb{E}\left[e^{\mu^2/2}\right].$$ El último dos aquí proviene de la simetría, lo que nos permite dejar de lado el indicador.
Obsérvese ahora que la RHS diverge a $-\infty.$ La expectativa del lado derecho es la función generadora de momentos en $1/2$ para $\mu^2.$ $\mu^2$ sigue a $\chi^2_1$ distribución. Como puede ver aquí https://stats.stackexchange.com/questions/7278/finding-the-moment-generating-function-of-chi-squared-distribution la función generadora de momentos para a $\chi^2_1$ diverge hacia el infinito en $1/2$ . Por lo tanto, ahora obtenemos $$\mathbb{E}[1_{\{\mu< 0\}}\mu/\Phi(\mu)] \leq -\infty.$$ En particular, $$\mathbb{E}[\mu/\Phi(\mu)] = -\infty.$$
