Extracción del factor del cuadrinomio

Question

Como he aprendido sobre polinomios, me encuentro con este cuadrinomio:

$$x^3+300x^2+30000x-953125 = 0$$

He estado estudiando como factorizar este cuadrinomio pero no entendía muy bien como se hace, aquí está como he estudiado(probablemente no me he equivocado en los siguientes pasos):

Debería preguntarme cómo de grande x tiene que ser para el término lineal y la constante a añadir a 0 .

Divide la constante por el coeficiente del término lineal, su alrededor de 30 Ahora, ¿cómo puedo saber si 30 es una aproximación razonable para x ?

Debería comprobar el resultado cuando x = 30 para los términos cuadrático y cúbico y si cada uno de ellos es menor que la constante entonces es una aproximación razonable.

Como he comprobado con otros polinomios dividiendo la constante con el término lineal siempre se obtiene un número bastante cercano al x .

Sé que probablemente la mayoría de las cosas no las entiendo, pero si alguien puede ayudarme a entender por qué y cómo se hace se lo agradeceré mucho.

Edita:

Siento no haber sido claro en mi pregunta, I tratar de entender por qué después de dividir la constante por la lineal y obtener algo alrededor de 30 Por qué se considera una aproximación razonable para el factor cuando se cumplen las dos condiciones siguientes: $$30^3 < 30*30,000$$ et $$300*30^2 < 30*30,000$$ Es algo que he aprendido y no puedo entender por qué es verdad que lo hago.

Answer 1

Deberías usar el hecho de que si tu polinomio $$f = x^3+300 x^2+30000 x-953125$$ tiene una raíz entera $\alpha$ (para que $x - \alpha$ es un divisor de $f$ ), entonces $\alpha$ divide el término constante $953125 = 5^{6} \cdot 61$ . (Además, una raíz racional de $f$ tiene que ser un número entero, ya que $f$ es mónico).

Pruebe los divisores de $5^{6} \cdot 61$ empezando por los pequeños positivos, y pronto encontrarás una raíz $\dots$

Answer 2

Pista. Puesto que usted está buscando un cero que es un divisor de $953125 =5^{6} \cdot 61$ y que está cerca $30$ se puede suponer que es igual a $\color{red}{25}$ Esto puede llevarle a escribir $$\begin{align} & x^3+300x^2+30000x-953125\\\\ =\:&\left(x^3+3\color{red}{25}x^2+3\color{red}{8125}x\right)-\left(\color{red}{25}x^2+\color{red}{8125}x+953125\right)\\\\ =\:&\color{red}{x}\left(x^2+325x+38125\right)-\color{red}{25}\times\left(x^2+325x+38125\right)\\\\ =\:&(\color{red}{x-25})\left(x^2+325x+38125\right). \end{align}$$