Formulación covariante de la electrodinámica

Question

IMO "formulación covariante" de la electrodinámica significa que las ecuaciones deben permanecer invariantes a través de diferentes marcos de Lorentz. Ahora bien, a grandes rasgos hay dos maneras de escribir las ecuaciones electrodinámicas.

1. utilizando la notación de 3 vectores $$ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla.\mathbf{J} = 0 \tag{Eq. 11.127 of J.D.Jackson} $$

2. utilizando 4 notación vectorial y tensores $$ \partial_\alpha J^\alpha = 0 \tag{Eq. 11.129 of J.D.Jackson} $$

Una ecuación electrodinámica escrita de cualquiera de estas dos maneras permanece invariante (en cuanto a la forma) en todos los marcos de Lorentz. Entonces, ¿por qué se denomina "formulación covariante" a la segunda y no a la primera?

Answer 1

Es cierto que la primera ecuación tiene la misma forma en todos los marcos de Lorentz, pero no es obvio a menos que sepas cómo $\rho$ et ${\bf J}$ transformarse individualmente. Por ejemplo, la ecuación de aspecto similar

$$ \frac{\partial \rho}{\partial t} + k\, {\bf \nabla} \cdot {{\bf E}} = 0$$

(donde $k$ es alguna constante) sería no tienen el mismo aspecto en otros marcos de Lorentz, porque la densidad de carga y el campo eléctrico se transforman de forma diferente bajo los aumentos de Lorentz. La segunda ecuación, en cambio, es claramente Covariante de Lorentz, porque cualquier contracción entre un índice covariante y contravariante de un tensor de Lorentz es automáticamente covariante (es decir, esa contracción tiene la misma forma algebraica en cualquier otro marco de Lorentz).