He estado trabajando en este problema para unas pocas horas, y han conseguido nada. Aquí está:
Si $G$ es una p grupo, y $G/\phi(G)$ ha pedido en menos $p^{2\alpha-1}$, entonces el número de elementos de orden p es congruente a $-1\mod p^\alpha$.
La sugerencia es para imitar la prueba del teorema 4.9. Pero hay tantas cosas en que la prueba de que no se aplica a este caso, así que no sé qué dejar y qué dejar. He sido capaz de averiguar cómo resolver este problema, si sólo puedo mostrar que hay una irreductible carácter $\chi$ donde $C$ actos trivialmente. Aquí $C$ es el grupo de caracteres lineales $\lambda$$\lambda^p=1$, y actúa sobre los caracteres $\chi$ mediante el envío del producto $\lambda\chi$. Yo también conozco a $C$ es isomorfo a $G/\phi(G)$. Así que mi pregunta es: ¿cómo mostrar que existe una $\chi$ $C$ actuando trivialmente?
