Axioma de elección y número de funciones de elección

Question

El axioma de elección garantiza que toda colección de conjuntos disjuntos no vacíos tiene al menos una función de elección.

Intuitivamente, se sostiene un resultado más fuerte. Esperamos que el número de funciones de elección en una colección de conjuntos disjuntos sea igual a la cardinalidad del producto cartesiano de esa colección.

Dados los axiomas de ZFC, ¿implica también el axioma de elección esta afirmación esperada?

Answer 1

El producto de los conjuntos es el conjunto de funciones de elección. Así es como lo definimos. Por supuesto tienen la misma cardinalidad, las dos colecciones tienen los mismos elementos.

Para ver esto, observa que cuando simplemente tomamos un producto de dos conjuntos entonces pensamos en ello como pares ordenados, o tuplas ordenadas en el caso de tres, o cuatro, o cualquier número finito que se te ocurra. Pero, ¿cómo se escribe una tupla infinita? ¿Cuál es exactamente la definición de una tupla infinita?

Bueno, podemos pensar en una $I$ -es una función de $I$ en un conjunto no vacío. En particular, si tomamos el producto de $A_i$ entonces requerimos el $i$ -ésima "coordenada" del $I$ -a ser miembro de $A_i$ entonces podemos pensar en un $I$ -tupla como función $f$ de $I$ en $\bigcup_{i\in I}A_i$ tal que $f(i)\in A_i$ para todos $i$ .

Si el producto es el conjunto de todos los $I$ -entonces es exactamente el conjunto de funciones de elección.

Como nota al margen, ni siquiera nos importa si los conjuntos son disjuntos o no. El producto es invariante bajo biyecciones definibles, y siempre podemos sustituir $A_i$ con $A_i'=\{i\}\times A_i$ . El producto de $A_i$ tiene una biyección con el producto del $A_i'$ y la existencia de esta biyección no depende del axioma de elección.