Proyección ortogonal de vector con una estructura especial.

Question

Tengo un $N \times 1$ vector con $M$ elementos distintos de cero y $N-M$ ceros. Estoy proyectando ortogonalmente este vector sobre un $M$ subespacio dimensional. Ahora, como mi vector está técnicamente compuesto de $M$ elementos (los restantes son todos ceros), ¿significa eso que estoy proyectando $M$ elementos en el $M$ subespacio dimensional?. ¿Hay alguna forma de recuperar mi vector original invirtiendo la operación de proyección?.

Answer 1

Depende de que $M$ -subespacio dimensional en el que te estás proyectando. Por ejemplo, supongamos que tenemos $N=2$ (para que el espacio en el que estamos trabajando sea $\mathbb{R}^2$ ) y $M=1$ y su vector es $$\begin{bmatrix} 2\\ 0 \end{bmatrix}.$$ Si se proyecta sobre el $x$ -eje $$\left\{ \begin{bmatrix} a\\ 0 \end{bmatrix} \;\middle|\; a\in\mathbb{R}\right\},$$ que es un subespacio unidimensional de $\mathbb{R}^2$ entonces se "preservan" las entradas distintas de cero del vector, pero si se proyecta sobre el vector $y$ -eje $$\left\{ \begin{bmatrix} 0\\ a \end{bmatrix} \;\middle|\; a\in\mathbb{R}\right\},$$ que también es un subespacio unidimensional de $\mathbb{R}^2$ entonces estás "matando" las entradas distintas de cero.