Sea $ f(x)=\frac{1+\cos(2\pi x)}2$ y $f^n=f\circ f^{n-1}$ . ¿Es cierto que para casi todos los $x$ , $\lim_{n \to \infty} f^n(x)=1$ ?

Question

Sea $\displaystyle f(x)=\frac{1+\cos(2\pi x)}2$ para $x\in\mathbb R$ y $f^n=\underbrace{ f \circ \cdots \circ f}_{n}$ . ¿Es cierto que para Lebesgue casi todo $x$ , $\displaystyle\lim_{n \to \infty} f^n(x)=1$ ?

Me inclino más a creer que la respuesta es "sí".

Éste es el problema $5$ de $2021$ Miklós Schweitzer . Recientemente, un pregunta relacionada me recuerda este problema. Después de dedicarle algún tiempo, descubrí que es un problema difícil, como siempre hace Miklós Schweitzer. Casi todos los problemas de ese concurso me resultan muy difíciles.

En primer lugar, para un $x_0\in\mathbb R$ si $f^n(x_0)$ es convergente, entonces su límite $\ell$ debe ser un punto fijo de $f$ . Desde $f(x)=\cos^2(\pi x)\in[0,1]$ debemos tener $\ell\in[0,1]$ . Busquemos los puntos fijos de $f$ . Sea $g(x)=f(x)-x$ para $x\in[0,1]$ entonces necesitamos encontrar los ceros de $g$ . Desde $g'(x)=-\pi\sin(2\pi x)-1$ , $g'$ tiene dos ceros $\eta_1,\eta_2\in[0,1]$ con $1/2<\eta_1<3/4$ , $3/4<\eta_2<1$ y $\sin(2\pi\eta_1)=\sin(2\pi\eta_2)=-1/\pi$ . Por lo tanto, $g$ es decreciente en $[0, \eta_1)$ aumentando en $(\eta_1, \eta_2)$ y luego decreciente en $(\eta_2,1]$ . Tenga en cuenta que $g(1/2)=-1/2<0, g(1)=0$ sabemos que $g(\eta_1)<0$ y $g(\eta_2)>0$ . Por lo tanto, podemos encontrar tres ceros de $g$ nombrado por $\ell_1$ , $\ell_2$ y $\ell$ con $\ell_1\in(0,1/2)$ , $\ell_2\in(\eta_1, \eta_2)$ y $\ell=1$ .

Podemos encontrar la ubicación de los puntos fijos $\ell_1, \ell_2$ más exactamente. De hecho, puesto que $$g\left(\frac14\right)=\cos^2\left(\frac\pi4\right)-\frac14=\frac12-\frac14>0,\qquad g\left(\frac13\right)=\cos^2\left(\frac\pi3\right)-\frac13=\frac14-\frac13<0,$$ tenemos $\ell_1\in(1/4,1/3)$ Por lo tanto $$f'(\ell_1)=-\pi\sin(2\pi\ell_1)<-\pi\sin\left(\frac{2\pi}3\right)=-\frac{\sqrt 3}2\pi<-1.$$ También, $$g\left(\frac56\right)=\cos^2\left(\frac56\pi\right)-\frac56=\frac34-\frac56<0,\qquad g\left(\frac{11}{12}\right)=\frac{1+\cos\left(\frac{11}6\pi\right)}2-\frac{11}{12}=\frac{\sqrt3-2}4>0,$$ tenemos $\ell_2\in(5/6,11/12)$ Por lo tanto $$f'(\ell_2)=-\pi\sin(2\pi\ell_2)>-\pi\sin\left(\frac{11\pi}6\right)=\frac{1}2\pi>1.$$

Los siguientes no son rigurosos.

Por lo tanto, localmente, cerca de $\ell_1$ , $f$ se comporta como $-A(x-\ell_1)$ con $A>1$ . Considere el mapa $f_1: x\mapsto -Ax$ entonces $f_1^n(x)$ converge si y sólo si $x=0$ . Esto indica que, para $x_0$ si la secuencia $\{f^n(x_0)\}$ no alcanza $\ell_1$ no convergerá a $\ell_1$ un análisis similar sobre $\ell_2$ indica que $\{f^n(x_0)\}$ no convergerá a $\ell_2$ si no toca $\ell_2$ Por lo tanto, si $\{f^n(x_0)\}$ converge sin tocar $\ell_1, \ell_2$ entonces el límite debe ser $\ell=1$ . Creo que las ideas de este párrafo se pueden escribir con rigor, aunque no sé cómo hacerlo con limpieza.

Otra pregunta que no he tenido ninguna idea: ¿Qué pasa si $\{f^n(x_0)\}$ diverge? Para terminar el problema, aunque escribamos una demostración sobre el párrafo anterior, también tenemos que demostrar que para a.e. $x$ la secuencia $\{f^n(x)\}$ es convergente.

Agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

Sea $\ell_1<\ell_2<1$ son los tres puntos fijos de $f$ La idea es seguir donde ciertos subintervalos de $[0,1]$ y demostrar que en un número finito de iteraciones, dichos subintervalos caen en $[\ell_2,1]$ donde la dinámica del sistema es evidente.

1. Observe que $[\ell_2,1]\mapsto [\ell_2,1]$ y puesto que $f(x)>x$ y $f$ aumenta en $[\ell_2,1]$ para $x\in (\ell_2,1]$ , $f^n(x)\xrightarrow{n\rightarrow\infty}1$ .

La clave ahora es demostrar que con la excepción de las preimágenes (de preimágenes) de los puntos $\ell_1$ y $\ell_2$ y de la raíz $z$ todos los demás puntos se asignan a $(\ell_2,1]$ .

2. Desde $f$ disminuye en $[0,\ell_1]$ y $f(x)>x$ en $[0,\ell_1)$ hay un punto $0<\ell^{(1)}_2<\ell_1$ tal que $f(\ell^{(1)}_2)=\ell_2$ . Observe que $[0,\ell^{(1)}_2]\mapsto[\ell_2,1]$ . Entonces, por (1), las iteraciones de $f$ en puntos de $[0,\ell_2')$ convergen a $1$ .

3. $f$ tiene un (único) cero $\ell_1<z<\ell_2$ . Observe que $[\ell_1,z]\mapsto[0,\ell_1]$ y $[z,\ell_2]\mapsto[\ell_1,\ell_2]$ Así pues, la dinámica interesante se produce en $[\ell^{(1)}_2,\ell_2]$ .

4. Hay $\ell_1<\ell^{(2)}_2<z$ tal que $f(\ell^{(2)}_2)=\ell^{(1)}_2$ . Observe que $[\ell^{(2)}_2,z]\mapsto[0,\ell^{(1)}_2]$ y de ahí llegamos a $[\ell_2,1]$ .

5. Hay puntos $z<\ell^{(3)}_2<\ell^{(1)}_1<\ell_2$ tal que $f(\ell^{(3)}_2)=\ell^{(1)}_2$ y $f(\ell^{(1)})=\ell_1$ . Observe que $[z,\ell^{(3)}_2]\mapsto[0,\ell^{(1)}_2]$ y de ahí llegamos a $[\ell_2,1]$ .

Podemos proceder de este modo dividiendo los subintervalos restantes en $[\ell^{(1)}_2,\ell^{(2)}_2]$ y $[\ell^{(3)}_2,\ell_2]$ utilizando imágenes previas de orden superior de $z$ y $\ell_1$ y $\ell_2$ . Para hacer esto mucho más claro, puede que tengamos que utilizar un mejor etiquetado de preimágenes para denotar el orden de una preimagen, y posiblemente utilizar la dinámica simbólica.