¿Se pueden colorear los números enteros positivos de forma que los elementos del mismo color nunca sumen un cuadrado?

Question

¿Se pueden colorear los números enteros positivos con un número finito de colores, de modo que no haya dos números diferentes del mismo color que sumen un cuadrado?

Algunas observaciones fáciles de probar:

1. se necesitan al menos 4 colores, ya que la suma de dos cualesquiera en $\{386, 2114, 3970, 10430\}$ es cuadrado;

2. si $N$ colores bastan para cada subconjunto finito, entonces $N$ colores bastan para todos $\mathbb{N}$ ;

3. dos colores basta con sustituir los cuadrados por las potencias de $2$ .

Answer 1

No. Véase el artículo siguiente, que trata más polinomios que los cuadrados perfectos.

Sobre el número de soluciones monocromáticas de $x+y = z^2$ . Ayman Khalfalah y Endre Szemerédi. Combinatoria, probabilidad y computación (2006) 15, 213-227.

Answer 2

Edición: la primera parte no es correcta, véanse los comentarios de Zach Hunter más abajo. He malinterpretado la pregunta.

Podemos particionar los enteros en cuadrados y no cuadrados, por lo que bastaría con demostrar que los cuadrados se pueden particionar sin sumas. Véase este post de MathOverflow de hace un rato para una discusión sobre la partición de los números enteros sin triples pitagóricos.

Parece que se trata de un problema abierto, y sólo en 2016 se demostró que los cuadrados no pueden ser de 2 colores para evitar los triples pitagóricos monocromáticos. Si los números enteros fueran particionados para evitar sumas cuadradas, entonces ciertamente los cuadrados lo serían, y la existencia de una partición finita es un problema abierto. Por lo tanto, ¡creo que este problema está abierto!

Respuesta anterior:

Lamentablemente, ésta no es una respuesta completa, sino una recopilación de ideas.

Una condición suficiente sería una coloración tal que no haya soluciones monocromáticas para $x+y=z$ . Desgraciadamente, esto no existe: por Teorema de Schur cualquier partición de $\mathbb{Z}^+$ en un número finito de partes, una parte contiene $x,y,z$ tal que $x+y=z$ . Una forma de proceder podría ser intentar modificar una demostración del teorema de Schur.

Hace poco, Bloom y Maynard mostró el siguiente resultado de densidad: si $A \subseteq [N]$ no tiene solución para $a-b=n^2$ donde $a,b \in A$ y $n \geq 1$ entonces $|A| = O\left( \frac{N}{(\log N)^{c \log \log \log N}}\right)$ . Además, $|A+A|^{3/4} \leq |A-A| \leq |A+A|^{4/3}$ se conoce, lo que sugiere que la situación para $A+A$ ser libre de cuadrados no debería ser "tan diferente" de $A-A$ ser cuadrado libre.

Supongo que la respuesta a su pregunta es no, pero no puedo demostrarlo. Tal vez alguien con más conocimientos que yo pueda responder adecuadamente, pero hasta entonces espero que estos comentarios sean algo útiles para la investigación.