Determine si el mapa dado es una biyección y un homomorfismo.

Question

Deje $\phi :(U_n, *) \rightarrow (Z_n, +_n)$ se define por $\phi(e^{m \frac{2\pi}{n}i}) = m$ donde $m \in {0,1,\ldots,n-1}$

Esto es lo que hice para demostrar el homomorfismo.

Sea $\psi(m) = e^{m \frac{2\pi}{n}i}$ para $\psi (Z_n, +_n) \rightarrow (U_n, *)$

Entonces $\psi(x+_ny) = \psi(x) * \psi (y)$ como $e^{(x+y) \frac{2\pi}{n}i} = e^{(x) \frac{2\pi}{n}i} * e^{(y) \frac{2\pi}{n}i}$

¿Es ésta la forma correcta de hacerlo? ¿Cómo puedo demostrar que $\phi$ es biyectiva?

gracias

Answer 1

Bueno, para responder a tu primera pregunta, me estás confundiendo. En primer lugar, ¿qué quieres decir con el grupo $(U_n, *)$ ? Supongo que te refieres al grupo multiplicativo de raíces complejas de la unidad en el plano de Argand. En segundo lugar, ¿es $\psi(m)$ se supone que es el mapa inverso de $\phi :(U_n, *) \rightarrow (Z_n, +_n)$ ? Si es así, esto no funciona porque sólo has demostrado que el inversa de $\phi$ es un homomorfismo en la dirección opuesta al mapa original.

Antes de hacer nada de esto, sin embargo, tienes que demostrar que este mapa es una biyección. Un mapa es una biyección si es a la vez uno a uno y onto. Primero tenemos que demostrar que es un mapa inyectivo (uno a uno). Consideremos 2 raíces de la unidad: $z^{j}= e^{m \frac{2\pi}{j}i}$ y $z^{k}=e^{m \frac{2\pi}{k}i}$ donde j,k son enteros positivos.Entonces claramente $\phi(e^{c \frac{2\pi}{j}i}) = \phi(e^{d \frac{2\pi}{k}i)}$ donde c =0,1,....j-1 y d= 0,1,...k-1.Claramente, la igualdad es cierta si j=k Ahora necesitamos demostrar que el mapa es onto. Puesto que m = x (mod n) para cada m en el rango de $\psi(m)$ y n es una raíz entera arbitraria de la unidad, entonces el mapa es sobre los enteros positivos mod n. Así que el mapa es biyectivo.

Ahora que hemos demostrado que el mapa es biyectivo, dejemos que $\psi=(\phi)^{-1}$ . Entonces tu prueba es válida ya que la inversa de cualquier isomorfismo es también un isomorfismo y por tanto un homomorfismo. Por lo tanto, demostrando $\psi=(\phi)^{-1}$ es un homomorfismo, también has demostrado que $\phi$ ¡es!