¿Primo=primo + potencia de 2 infinitamente a menudo?

Question

Acabo de experimentar con algunos objetivos pequeños y he obtenido $7=2^2+3$ y $13=2^3+5$ y $17=2^2+13$ y $23=2^4+7$ .

Todos estos primos son suma de un primo y una potencia de $2$ .

Así que, naturalmente, me llevó a hacer conjeturas:

Hay un número infinito de primos $p$ para que $p=2^k+q$ donde $q$ es otro primo y $k \in \mathbb N$

Puede ver que también se permite que $k=1$ por lo que, si hubiera un número infinito de primos gemelos (o cualquier par de primos que difieran en algún punto fijo $2^k$ ) entonces esta conjetura sería trivialmente cierta.

Pero, esta es una conjetura mucho más débil porque permite que todas las potencias de $2$ de una vez.

¿Se sabe?

Answer 1

Existe la conjetura de que para todo número entero positivo par $d$ hay infinitos pares de primos $p,q$ con $p+d=q$ . Esto implica esta conjetura. De hecho, para cada potencia de $2$ sólo necesitaríamos un par.

Otra heurística para la conjetura. Para cada potencia prima $2^k$ hay infinitos números Impares $o$ tal que $2^k+o$ es primo. Parece muy probable que haya al menos un número primo (probablemente incluso infinitos números primos) entre esos números Impares.

No obstante, soy escéptico en cuanto a la demostración de esta conjetura, aunque a primera vista no parece demasiado difícil.