Series de potencias, Taylor/Maclaurin y derivada n-ésima

Question

a) Halla el radio de convergencia de la serie de potencias $$\sum_\limits{n=1}^\frac{(n+1)^{n^2}}{3^nn^{n^2}}x^n $$

b)Encuentre todos los $x\in \mathbb{R}$ para la que la serie de potencias $\sum_\limits{n=1}^\frac{(x+1)^n}{\sqrt{4^nn}}$ convergen.

c)Utilizando la expansión de Maclaurin de $e^x$ hallar la serie de potencias de $g(x)=e^{5x^2}$ con centro $x_0=0$ . También para cada $n\in \mathbb{Z}$ encontrar una fórmula para $g^{(n)}(0)$ .

Mi trabajo hasta ahora:

a) He encontrado $R=\frac{3}{e}$ con $R={(\limsup_{n\rightarrow}\sqrt[n]{|a_n|})}^{-1}$ .

b) De la prueba de la proporción y $n\rightarrow $ obtenemos $|(x+1)\frac{1}{2}|$ . Por tanto, las series de potencias convergen para $|(x+1)\frac{1}{2}|<1$ . Así $-3<x<1$ es el intervalo de convergencia de la serie de potencias.

c) La serie de potencias de $g(x)$ utilizando la expansión de Maclaurin de $e^x$ es ${\sum_\limits{n=0}^ }\frac{5^n}{n!}x^{2n}$

¿Es correcto mi trabajo hasta ahora? No sé qué hacer para la derivada n-ésima de $g(x)$ . Agradeceríamos cualquier ayuda.

Answer 1

La serie Maclaurin para $f$ es: $$f(x)=\sum\limits_{n \in \mathbb{N}} \left.\frac{\mathrm{d}^nf(x)}{\mathrm{d}x^n}\right|_{x=0}\frac{x^n}{n!}$$ Creo que esto será suficiente para que termines el ejercicio c.

Así, los primeros términos de la serie Maclaurin son: $$g^{(0)}(0)\frac{x^0}{0!}+g^{(1)}(0)\frac{x^1}{1!}+g^{(2)}(0)\frac{x^2}{2!}+\dots$$ $$g^{(0)}(0)+g^{(1)}(0)x+g^{(2)}(0)\frac{x^2}{2}+\dots$$ Mientras que su función es: $$5^0\frac{x^{2*0}}{0!}+5^1\frac{x^{2*1}}{1!}+5^2\frac{x^{2*2}}{2!}+\dots$$ $$1+5x^2+\frac{25}{2}x^4+\dots$$

Answer 2

Hallar la derivada n-ésima de $g$ es fácil, puesto que ya has encontrado la expansión Maclaurin:

• Desde $g$ es una función par, $g^{(n)}(0)=0$ si $n$ es impar.
• A partir de la expansión de Maclaurin, si $n$ es par:
  • $ \begin{align*} g(x) =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{g^{(n)}(0)}{n!}x^n =\sum_{v=0}^\infty \frac{5^v}{v!}x^{2v}\Rightarrow x^n=x^{2v}\Rightarrow n=2v \end{align*} $
  • $ \begin{align*} g(x) =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{g^{(n)}(0)}{n!}x^n =\sum_{v=0}^\infty\frac{5^v}{v!}x^{2v}\Rightarrow \frac{g^{(n)}(0)}{n!}=\frac{5^v}{v!}\Rightarrow g^{(n)}(0) =\frac{5^vn!}{v!} =\frac{\sqrt{5^n}n!}{\left(\frac{n}{2}\right)!} \end{align*} $

Una definición a trozos de la derivada n-ésima de $g$ sería: $$ g^{(n)}(0)=\begin{cases}\frac{\sqrt{5^n}n!}{\left(\frac{n}{2}\right)!}&n \to even\\ 0&n \to odd\end{cases} $$