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Series de potencias, Taylor/Maclaurin y derivada n-ésima

a) Halla el radio de convergencia de la serie de potencias (n+1)n23nnn2n=1xn

b)Encuentre todos los xR para la que la serie de potencias (x+1)n4nnn=1 convergen.

c)Utilizando la expansión de Maclaurin de ex hallar la serie de potencias de g(x)=e5x2 con centro x0=0 . También para cada nZ encontrar una fórmula para g(n)(0) .

Mi trabajo hasta ahora:

a) He encontrado R=3e con R=(lim sup .

b) De la prueba de la proporción y n\rightarrow obtenemos |(x+1)\frac{1}{2}| . Por tanto, las series de potencias convergen para |(x+1)\frac{1}{2}|<1 . Así -3<x<1 es el intervalo de convergencia de la serie de potencias.

c) La serie de potencias de g(x) utilizando la expansión de Maclaurin de e^x es {\sum_\limits{n=0}^ }\frac{5^n}{n!}x^{2n}

¿Es correcto mi trabajo hasta ahora? No sé qué hacer para la derivada n-ésima de g(x) . Agradeceríamos cualquier ayuda.

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jonasfh Puntos 116

La serie Maclaurin para f es: f(x)=\sum\limits_{n \in \mathbb{N}} \left.\frac{\mathrm{d}^nf(x)}{\mathrm{d}x^n}\right|_{x=0}\frac{x^n}{n!} Creo que esto será suficiente para que termines el ejercicio c.

Así, los primeros términos de la serie Maclaurin son: g^{(0)}(0)\frac{x^0}{0!}+g^{(1)}(0)\frac{x^1}{1!}+g^{(2)}(0)\frac{x^2}{2!}+\dots g^{(0)}(0)+g^{(1)}(0)x+g^{(2)}(0)\frac{x^2}{2}+\dots Mientras que su función es: 5^0\frac{x^{2*0}}{0!}+5^1\frac{x^{2*1}}{1!}+5^2\frac{x^{2*2}}{2!}+\dots 1+5x^2+\frac{25}{2}x^4+\dots

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Angel Politis Puntos 135

Hallar la derivada n-ésima de g es fácil, puesto que ya has encontrado la expansión Maclaurin:

  • Desde g es una función par, g^{(n)}(0)=0 si n es impar.
  • A partir de la expansión de Maclaurin, si n es par:
    • \begin{align*} g(x) =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{g^{(n)}(0)}{n!}x^n =\sum_{v=0}^\infty \frac{5^v}{v!}x^{2v}\Rightarrow x^n=x^{2v}\Rightarrow n=2v \end{align*}
    • \begin{align*} g(x) =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{g^{(n)}(0)}{n!}x^n =\sum_{v=0}^\infty\frac{5^v}{v!}x^{2v}\Rightarrow \frac{g^{(n)}(0)}{n!}=\frac{5^v}{v!}\Rightarrow g^{(n)}(0) =\frac{5^vn!}{v!} =\frac{\sqrt{5^n}n!}{\left(\frac{n}{2}\right)!} \end{align*}

Una definición a trozos de la derivada n-ésima de g sería: g^{(n)}(0)=\begin{cases}\frac{\sqrt{5^n}n!}{\left(\frac{n}{2}\right)!}&n \to even\\ 0&n \to odd\end{cases}

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