¿La ecuación de movimiento de un sistema muelle-amortiguador es la misma si está orientado hacia arriba o hacia abajo?

Question

Así que todos los sistemas de muelles-amortiguadores que he encontrado por internet tienen la ecuación de movimiento:

$$mx''+cx'+kx=0$$

Puedo entender cómo se deriva esto cuando hacia abajo es positivo, pero ¿qué pasa cuando hacia arriba es positivo? ¿No sería

$$mx''-cx'-kx=0$$

Answer 1

Sea $\hat d$ y $\hat u$ sean vectores unitarios en sentido descendente y ascendente.

Mirando la derivación correcta que has hecho abajo $\hat d$ como positivo y el desplazamiento de la masa desde la posición de equilibrio es $x \hat d$ lo que lleva a que la velocidad sea $\dot x \hat d$ y siendo la aceleración $\ddot x \hat d$ .

Así que su ecuación de movimiento es $mg \hat d - ks \hat d - kx \hat d - c \dot x \hat d = m \ddot x \hat d \Rightarrow m\ddot x \hat d + c \dot x \hat d + k \hat d = 0$

Pasar de tener abajo como positivo a tener arriba $\hat u$ como positivo todo lo que tienes que hacer es notar que $\hat d = - \hat u$ y sustituir por $\hat d$ en la ecuación que se derivó fue teniendo abajo como positivo.
Verás que obtienes la misma ecuación de movimiento.

Entonces, ¿qué había de malo en tu derivación de la izquierda?

Hiciste que el desplazamiento de la masa $-x \hat u$ y la velocidad de la masa $- \dot x \hat u$ pero en lo que fallaste fue en hacer que la aceleración $-\ddot x \hat u$

Answer 2

Sí.

Esto se debe a que su 2ª ecuación debe léase como

$$ -mx''-cx'-kx=0 $$

ya que el sentido donde positivo $x$ ha cambiado. Esto significa un cambio de signo para $x$ , $x'$ y $x''$ .