Demostrar que si $f$ es inyectiva, y $C$ , $D ⊆ A$ entonces $f (C ∩ D) = f (C) ∩ f (D)$

Question

Sea $f : A \rightarrow B$ b Demostrar que si $f$ es inyectiva, y $C$ , $D A$ entonces $f(C D) = f(C) f(D)$ .

Mi intento hasta ahora, (puede ser incorrecto, pero es mi mejor hasta ahora):

Supongamos que $f(x) f(C D)$ esto implica que $x C D$ . Por la definición de intersección de conjuntos, $x C D$ significa que $x C$ y $x D$ . La afirmación anterior implica que $f(x) f(C)$ y $f(x) f(D)$ . Si $f(x) f(C)$ y $f (x) f(D)$ se deduce que $f(x) f(C) f(D)$ .

¿Es suficiente? Y si es así, ¿cómo afecta el hecho de que f es inyectiva ayuda con esta prueba?

Answer 1

Lo que has hecho: $$ y \in f(C\cap D) \implies y\in f(C)\cap f(D) $$

Lo que queda: $$ y\in f(C)\cap f(D) \implies y \in f(C\cap D) $$

Así que toma $y\in f(C)\cap f(D)$ . Existe una representación $y = f(x_C)$ con $x_C\in C$ porque $y\in f(C)$ . Y una representación $y = f(x_D)$ con $x_D\in D$ porque $y\in f(D)$ .

Ahora usando inyectividad, $x := x_C = x_D \in C\cap D$ Así que $y = f(x)\in f(C\cap D)$ .