Por qué el espectro esférico es más correcto que $\mathbb{Z}$ ?

Question

Se puede argumentar que $\mathbb{S}$ es más correcto que $\mathbb{Z}$ . ¿Alguien puede hacerlo más explícito? Por ejemplo, ¿qué información se perderá si trabajamos en $\mathbb{Z}$ en lugar de $\mathbb{S}$

La teoría de la homotopía cromática puede dar una respuesta parcial. Sé que por la teoría de homotopía cromática, el espectro de la esfera tiene más información que el entero que se conoce como $v_n$ auto mapa. Resulta que el espectro de la esfera tiene dimensión de Krull infinita. Pero soy un principiante de la teoría de homotopía cromática así que no puedo contar la historia completa y verdadera. Cualquier explicación de las ventajas de $\mathbb{S}$ mediante la teoría de homotopía cromática.

BTW, Hay una broma en internet, que se muestra en la imagen.

Answer 1

Para que esto funcione, lo mejor es identificar el espectro conectivo con espacios dotados de un tipo de grupo $E_\infty$ -(son equivalentes).

Desde este punto de vista:

• $\mathbb{Z}$ es el grupo abeliano libre en un generador.

• El espectro de la esfera $\mathbb{S}$ es el grupo libre $E_{\infty}$ -espacio en un generador.

Del mismo modo:

• $\mathbb{Z}$ es el anillo inicial, por lo que el espectro del anillo inicial 0-truncado (conectivo).

• $\mathbb{S}$ es el espectro anular inicial (conectivo).

Entonces, si usted (como mucha gente que trabaja en teoría de homotopía y/o teoría de categorías superiores y/o teoría de tipos de homotopía) piensa que los espacios son los verdaderos objetos fundamentales y los conjuntos son sólo las subcategorías reflexivas del espacio 0-truncado, entonces el papel que suele desempeñar $\mathbb{Z}$ en la matemática tradicional basada en conjuntos es desempeñada ahora por $\mathbb{S}$ y $\mathbb{Z}$ sólo aparecen como $0$ -truncamiento de $\mathbb{S}$ .

Por ejemplo, algunas personas han argumentado que una forma de hacer álgebra y geometría "por debajo de Spec $\mathbb{Z}$ " (en el espíritu de "el campo con un elemento") era hacer álgebra y geometría sobre el espectro de la esfera (véase aquí o aquí pero se trata de una idea bastante común).

Answer 2

Una respuesta elemental a la primera parte de su pregunta: Los conjuntos finitos son más fundamentales que sus cardinalidades.

Consideremos la categoría de conjuntos finitos y funciones biyectivas. Su realización geométrica (= nervio, o espacio clasificador) tiene el tipo homotópico de $\coprod_{n\ge0} B\Sigma_n$ . Olvidando la elección de las funciones biyectivas, y recordando sólo su existencia, se obtiene un mapa al conjunto $\mathbb{N}_0 = \{n \ge 0\}$ de enteros no negativos. De este modo, no se tienen en cuenta las simetrías de un conjunto finito: se pueden fijar o transponer los dos elementos en $\{a, b\}$ mientras que el número $2$ no viene intrínsecamente con dicha estructura.

Pronto querrá sumar y multiplicar conjuntos finitos, utilizando la unión disjunta y el producto cartesiano, y estas operaciones sobre $\coprod_{n\ge0} B\Sigma_n$ inducen la suma y el producto habituales en $\mathbb{N}_0$ . Ahora tenemos un mapa de semirings.

Poco después quieres resolver ecuaciones y necesitas restar. Para ello, tienes que completar en anillo la suma en $\coprod_{n\ge0} B\Sigma_n$ conservando la multiplicación (véase la Observación A), y el espacio de anillos resultante tiene el tipo homotópico de $\text{colim}_k \, \Omega^k S^k = \Omega^\infty \mathbb{S}$ con la estructura del espacio anular procedente del espectro anular $\mathbb{S}$ el espectro de la esfera. Esto corresponde ahora a la terminación en anillo de $\mathbb{N}_0$ es decir, los números enteros $\mathbb{Z}$ .

Lo primero que se pierde bajo $\mathbb{S} \to \mathbb{Z}$ es la imagen de la transposición de $a$ y $b$ es decir, el haz de Mobius sobre el círculo, que corresponde al bucle en $\Omega^2 S^2$ dada por la fibración de Hopf $\eta \colon S^3 \to S^2$ .

Observación A: Una forma de resolver la advertencia planteada en

Thomason, R. W.
Beware the phony multiplication on Quillen's A1A.
Proc. Amer. Math. Soc. 80 (1980), no. 4, 569–573. 

se da en

Baas, Nils A.; Dundas, Bjørn Ian; Richter, Birgit; Rognes, John
Ring completion of rig categories.
J. Reine Angew. Math. 674 (2013), 43–80.