Cómo obtener resultados $3 \otimes 3 = 6 \oplus \bar{3}$ para $SU(3)$ ¿representaciones irreducibles?

Question

Vamos a tener $SU(3)$ representaciones irreducibles $3, \bar{3}$ . Cómo obtener el resultado que $$3\otimes 3 =6 \oplus \bar{3}~?$$ Estoy interesado en $\bar{3}$ parte. Está claro que para $3 \otimes 3$ podemos utilizar reglas tensoriales expandiendo la matriz correspondiente en la simétrica $6$ y partes antisimétricas. Pero ¿por qué tenemos $\bar{3}$ no $3$ ¿para la parte antisimétrica?

Answer 1

Sección A : La conexión de las transformaciones de complejo $\:3\times 3\:$ tensores antisimétricos y su complejo representativo $\:3$ -vectores.

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Sea $\:U\:$ sea una transformación unitaria especial en $\:SU(3)\:$ representado por el $\:3\times 3\:$ matriz compleja \begin{equation} U= $$\begin{bmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13} \\ u_{21} & u_{22} & u_{23} \\ u_{31} & u_{32} & u_{33} \end{bmatrix}$$ \tag{A-01} \end{ecuacion} Dado que $\:UU^{\boldsymbol{*}}=I\:$ tenemos $\:U^{\boldsymbol{*}}=U^{-1}$ Así que \begin{equation} U^{\boldsymbol{*}}=\left(\overline{U}\right)^{\mathsf{T}}=\overline{U^{\mathsf{T}}} $$\begin{bmatrix} \overline{u}_{11} & \overline{u}_{21} & \overline{u}_{31} \\ \overline{u}_{12} & \overline{u}_{22} & \overline{u}_{32} \\ \overline{u}_{13} & \overline{u}_{23} & \overline{u}_{33} \end{bmatrix}$$ = U^{-1} \tag{A-02} \fin{ecuación} donde $\:\overline{u}\:$ = el complejo conjugado de $\:u\:$ y $\:U^{\mathsf{T}}\:$ la matriz de transposición de $\:U$ . Por $\:\det\left(U\right)=1$ tenemos \begin{equation} U^{-1}= $$\begin{bmatrix} (u_{22}u_{33}-u_{23}u_{32}) & (u_{13}u_{32}-u_{12}u_{33}) & (u_{12}u_{23}-u_{13}u_{22}) \\ (u_{23}u_{31}-u_{21}u_{33}) & (u_{11}u_{33}-u_{13}u_{31}) & (u_{13}u_{21}-u_{11}u_{23}) \\ (u_{21}u_{32}-u_{22}u_{31}) & (u_{12}u_{31}-u_{11}u_{32}) & (u_{11}u_{22}-u_{12}u_{21}) \end{bmatrix}$$ \tag{A-03} \end{ecuacion}

\begin{equation} U^{-1}= \begin{bmatrix} + $$\begin{vmatrix} u_{22} & u_{23}\\ u_{32} & u_{33} \end{vmatrix}$$ & - $$\begin{vmatrix} u_{12} & u_{13}\\ u_{32} & u_{33} \end{vmatrix}$$ & + $$\begin{vmatrix} u_{12} & u_{13}\\ u_{22} & u_{23} \end{vmatrix}$$ \\ &&\\ - $$\begin{vmatrix} u_{21} & u_{23}\\ u_{31} & u_{33} \end{vmatrix}$$ & + $$\begin{vmatrix} u_{11} & u_{13}\\ u_{31} & u_{33} \end{vmatrix}$$ & - $$\begin{vmatrix} u_{11} & u_{13}\\ u_{21} & u_{23} \end{vmatrix}$$ \\ &&\\ + $$\begin{vmatrix} u_{21} & u_{22}\\ u_{31} & u_{32} \end{vmatrix}$$ & - $$\begin{vmatrix} u_{11} & u_{12}\\ u_{31} & u_{32} \end{vmatrix}$$ & + $$\begin{vmatrix} u_{11} & u_{12}\\ u_{21} & u_{22} \end{vmatrix}$$ \fin \tag{A-03 $^{\prime}$ } \fin{ecuación}

Por las ecuaciones (A-02) y (A-03) el conjugado complejo de los elementos $\:U\:$ se expresan en términos de los propios elementos \begin{equation} $$\begin{bmatrix} \overline{u}_{11} & \overline{u}_{21} & \overline{u}_{31} \\ \overline{u}_{12} & \overline{u}_{22} & \overline{u}_{32} \\ \overline{u}_{13} & \overline{u}_{23} & \overline{u}_{33} \end{bmatrix}$$ \\= $$\begin{bmatrix} (u_{22}u_{33}-u_{23}u_{32}) & (u_{32}u_{13}-u_{33}u_{12}) & (u_{12}u_{23}-u_{13}u_{22}) \\ (u_{23}u_{31}-u_{21}u_{33}) & (u_{33}u_{11}-u_{31}u_{13}) & (u_{13}u_{21}-u_{11}u_{23}) \\ (u_{21}u_{32}-u_{22}u_{31}) & (u_{31}u_{12}-u_{32}u_{11}) & (u_{11}u_{22}-u_{12}u_{21}) \end{bmatrix}$$ \tag{A-04} \fin{ecuación} es decir $\:\overline{u}_{11}=u_{22}u_{33}-u_{23}u_{32}\:$ , $\:\overline{u}_{21}=u_{32}u_{13}-u_{33}u_{12}\:$ ... etc.

Ahora dejemos que $\:\boldsymbol{\omega}=\left(\omega_{1},\omega_{2}, \omega_{3}\right)\:$ un complejo $\:3$ -vector en $\:\mathbb{C}^{3}\:$ y $\:\mathrm{\Omega}\:$ la matriz antisimétrica que representa la operación $\:\boldsymbol{\omega}\boldsymbol{\times}\:$

$$\begin{equation} \mathrm{\Omega}= \begin{bmatrix} 0 & -\omega_{3} & \omega_{2} \\ \omega_{3} & 0 & -\omega_{1} \\ -\omega_{2} & \omega_{1} & 0 \end{bmatrix} =\{\boldsymbol} {\boldsymbol} {\veces} \A-05 \fin Supongamos que $\:\boldsymbol{\omega}\:$ se transforma en $\:\boldsymbol{\omega}^{\prime}\:$ bajo una transformación unitaria especial $\:U \in SU(3)\:$ \begin{equation} \boldsymbol{\omega}^{\prime}=U\boldsymbol{\omega} \tag{A-06} \end{equation}$$ y $\:\mathrm{\Omega}^{\prime}\:$ la matriz antisimétrica que representa la operación $\:\boldsymbol{\omega}^{\prime}\boldsymbol{\times}\:$ $$\begin{equation} \mathrm{\Omega}^{\prime}= \begin{bmatrix} 0 & -\omega^{\prime}_{3} & \omega^{\prime}_{2} \\ \omega^{\prime}_{3} & 0 & -\omega^{\prime}_{1} \\ -\omega^{\prime}_{2} & \omega^{\prime}_{1} & 0 \end{bmatrix} = símbolo en negrita {\omega}^ {\primo} = símbolo en negrita {\tiempo} \A-07 \Fin Determinaremos ahora la relación entre las matrices antisimétricas $\:\mathrm{\Omega}^{\prime}\:$ y $\:\mathrm{\Omega}$ . Para cualquier $\:\mathbf{z} \in \mathbb{C}^{3}\:$ \begin{equation} \mathrm{\Omega}^{\prime}\mathbf{z}=\boldsymbol{\omega}^{\prime}\boldsymbol{\times}\mathbf{z} =U\boldsymbol{\omega}\boldsymbol{\times}\mathbf{z}=U\boldsymbol{\omega}\boldsymbol{\times} UU^{\boldsymbol{*}}\mathbf{z}=\left[\;\det\left(U\right)\cdot\left(U^{-1}\right)^{\mathsf{T}}\; \right]\left(\boldsymbol{\omega}\boldsymbol{\times}U^{\boldsymbol{*}}\mathbf{z}\right) \tag{A-08} \end{equation}$$ Para la última igualdad a la derecha en (A-08) hacemos uso de la identidad

$$\begin{equation} \bbox[#E6E6E6,8px]{\boldsymbol{\mathrm{M}}\mathbf{a} \boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathrm{M}}\mathbf{b} = \left[\;\det\left(\boldsymbol{\mathrm{M}}\right)\cdot\left(\boldsymbol{\mathrm{M}}^{-1}\right)^{\mathsf{T}}\; \right]\left(\mathbf{a} \boldsymbol{\times}\mathbf{b}\right)} \tag{B-02} \end{equation}$$ expuesto y demostrado en la sección B.

Desde $\:\det\left(U\right)=1\:$ y $\:U^{-1}=U^{\boldsymbol{*}}\:$ $$\begin{equation*} \left[\det\left(U\right)\cdot\left(U^{-1}\right)^{\mathsf{T}}\right] \left(\boldsymbol{\omega}\boldsymbol{\times}U^{\boldsymbol{*}}\mathbf{z}\right) =\left[\left(U^{\boldsymbol{*}}\right)^{\mathsf{T}}\left(\boldsymbol{\omega}\boldsymbol{\times}\right) U^{\boldsymbol{*}}\right]\mathbf{z}=\left[\left(U^{\boldsymbol{*}}\right)^{\mathsf{T}}\mathrm{\Omega} U^{\boldsymbol{*}}\right]\mathbf{z}=\left[\overline{U}\mathrm{\Omega} \left(\overline{U}\right)^{\mathsf{T}}\right]\mathbf{z} \end{equation*}$$ por fin $$\begin{equation} \boldsymbol{\omega}^{\prime}=U\boldsymbol{\omega}\qquad\Longrightarrow\qquad \mathrm{\Omega}^{\prime}=\left(U^{\boldsymbol{*}}\right)^{\mathsf{T}}\mathrm{\Omega} U^{\boldsymbol{*}}=\overline{U}\mathrm{\Omega} \left(\overline{U}\right)^{\mathsf{T}} \tag{A-09} \end{equation}$$ Desde $\:\overline{U}\:$ también es una transformación unitaria especial, $\:\overline{U}\in SU(3)\:$ sustituyendo $\:U\:$ por $\:\overline{U}\:$ en la ecuación anterior (A-09) tenemos

$$\begin{equation} \boldsymbol{\omega}^{\prime}=\overline{U}\boldsymbol{\omega}\quad\Longrightarrow\quad \mathrm{\Omega}^{\prime}=U\mathrm{\Omega}U^{\mathsf{T}} \tag{A-10} \end{equation}$$ Obsérvese que las dos ecuaciones de (A-10) son equivalentes en el sentido siguiente : Si $\:\mathrm{\Omega}\:$ es un $\:3\times 3\:$ matriz antisimétrica, por lo que representando el producto $\:\boldsymbol{\omega}\boldsymbol{\times}\:$ donde $\:\boldsymbol{\omega} \in \mathbb{C}^{3}$ y $\mathrm{\Omega}^{\prime}=U\mathrm{\Omega}U^{\mathsf{T}}$ donde $U \in SU(3)$ entonces $\:\mathrm{\Omega}^{\prime}\:$ también es un $\:3\times 3\:$ matriz antisimétrica

$$\begin{equation*} \text{Proof : } \left(\mathrm{\Omega}^{\prime}\right)^{\mathsf{T}} =\left(U\mathrm{\Omega}U^{\mathsf{T}}\right)^{\mathsf{T}} =\left(U^{\mathsf{T}}\right)^{\mathsf{T}}\mathrm{\Omega}^{\mathsf{T}}U^{\mathsf{T}} =U\left(-\mathrm{\Omega}\right)U^{\mathsf{T}}=-U\mathrm{\Omega}U^{\mathsf{T}} =-\mathrm{\Omega}^{\prime} \end{equation*}$$ y representa el producto $\:\boldsymbol{\omega}^{\prime}\boldsymbol{\times}\:$ , donde $\:\boldsymbol{\omega}^{\prime}=\overline{U}\boldsymbol{\omega}\:$ .

$$\begin{equation} \bbox[#FFFF88,8px]{\mathrm{\Omega}^{\prime}=U\mathrm{\Omega}U^{\mathsf{T}}\quad\Longleftrightarrow\quad \boldsymbol{\omega}^{\prime}=\overline{U}\boldsymbol{\omega}} \tag{A-10$^{\prime}$} \end{equation}$$ Esto se confirma también igualando por elementos en la ecuación \begin{equation*} $$\begin{bmatrix} 0 & -\omega^{\prime}_{3} & \omega^{\prime}_{2} \\ \omega^{\prime}_{3} & 0 & -\omega^{\prime}_{1} \\ -\omega^{\prime}_{2} & \omega^{\prime}_{1} & 0 \end{bmatrix}$$ = $$\begin{bmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13} \\ u_{21} & u_{22} & u_{23} \\ u_{31} & u_{32} & u_{33} \end{bmatrix}$$ $$\begin{bmatrix} 0 & -\omega_{3} & \omega_{2} \\ \omega_{3} & 0 & -\omega_{1} \\ -\omega_{2} & \omega_{1} & 0 \end{bmatrix}$$ $$\begin{bmatrix} u_{11} & u_{21} & u_{31} \\ u_{12} & u_{22} & u_{32} \\ u_{13} & u_{23} & u_{33} \end{bmatrix}$$ \fin obteniendo \begin{equation*} $$\begin{bmatrix} \omega^{\prime}_{1} \\ \omega^{\prime}_{2} \\ \omega^{\prime}_{3} \end{bmatrix}$$ = $$\begin{bmatrix} (u_{22}u_{33}-u_{23}u_{32}) &(u_{23}u_{31}-u_{21}u_{33}) & (u_{21}u_{32}-u_{22}u_{31}) \\ (u_{32}u_{13}-u_{33}u_{12} & (u_{33}u_{11}-u_{31}u_{13}) & (u_{31}u_{12}-u_{32}u_{11}) \\ (u_{12}u_{23}-u_{13}u_{22} & (u_{13}u_{21}-u_{11}u_{23}) & (u_{11}u_{22}-u_{12}u_{21}) \end{bmatrix}$$ $$\begin{bmatrix} \omega_{1} \\ \omega_{2} \\ \omega_{3} \end{bmatrix}$$ \fin y así por (A-04) $$\begin{equation} \boldsymbol{\omega}^{\prime}=\overline{U}\boldsymbol{\omega} \tag{A-11} \end{equation}$$

Nota: Este resultado tiene que ver con un primer paso para la construcción de bariones a partir de 3 quarks $$\begin{equation} \boldsymbol{3}\boldsymbol{\otimes}\boldsymbol{3}=\boldsymbol{6}\boldsymbol{\oplus}\overline{\boldsymbol{3}} \tag{A-12} \end{equation}$$

La invariancia de ( el complejo $\:3\times 3\:$ ) del tensor bajo $\:U \in SU(3)\:$ es la invariancia del complejo $\:3$ -espacio dimensional de su representante $\:3$ -vectores $\:\boldsymbol{\omega}\:$ , que se transforman en $\:\overline{U}\:$ y no bajo $\:U\:$ . Esto explica por qué $\:\overline{\boldsymbol{3}}\:$ y no $\:\boldsymbol{3}$ .

Si $\:U=\overline{U}=\mathrm{M}$ es decir $\:U\:$ es real, entonces representa una rotación pura en $\:\mathbb{R}^{3}\:$ , $\:\mathrm{M}^{\mathsf{T}}=\mathrm{M}^{-1}\:$ y (A-10 $^{\prime}$ ) da como resultado $$\begin{equation} \mathrm{\Omega}^{\prime}=\mathrm{M}\mathrm{\Omega}\mathrm{M}^{-1}\quad\Longleftrightarrow\quad \boldsymbol{\omega}^{\prime}=\mathrm{M}\boldsymbol{\omega} \tag{A-13} \end{equation}$$

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Sección B : Una identidad útil necesaria en la sección A

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Si $\:\mathbf{a}= \left( \mathrm{a}_{1}, \mathrm{a}_{2}, \mathrm{a}_{3}\right),\:\mathbf{b}= \left( \mathrm{b}_{1}, \mathrm{b}_{2}, \mathrm{b }_{3}\right)$ son complejos $\:3$ -vectores en $\:\mathbb{C}^{3}\:$ y $\:\boldsymbol{\mathrm{M}}\:$ una transformación lineal invertible en este espacio representado por la $\:3\times 3\:$ matriz compleja $$\begin{equation} \boldsymbol{\mathrm{M}}= \begin{bmatrix} \mathrm{M}_{11} & \mathrm{M}_{12} & \mathrm{M}_{13} \\ \mathrm{M}_{21} & \mathrm{M}_{22} & \mathrm{M}_{23} \\ \mathrm{M}_{31} & \mathrm{M}_{32} & \mathrm{M}_{33} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{\rho}_{1} \\ \boldsymbol{\rho}_{2} \\ \boldsymbol{\rho}_{3} \end{bmatrix} \tag{B-01} \end{ecuacion} donde $\:\boldsymbol{\rho}_{i}\; (i=1,2,3)\:$ denota su complejo de filas $\:3$ -vectores, entonces \begin{equation} \bbox[#E6E6E6,8px]{\boldsymbol{\mathrm{M}}\mathbf{a} \boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathrm{M}}\mathbf{b} = \left[\;\det\left(\boldsymbol{\mathrm{M}}\right)\cdot\left(\boldsymbol{\mathrm{M}}^{-1}\right)^{\mathsf{T}}\; \right]\left(\mathbf{a} \boldsymbol{\times}\mathbf{b}\right)} \tag{B-02} \end{equation}$$ donde $$\begin{equation} \det \left(\boldsymbol{\mathrm{M}}\right) =\text{the determinant of } \boldsymbol{\mathrm{M}} = \boldsymbol{\rho}_{1}\circ \left(\boldsymbol{\rho}_{2} \boldsymbol{\times}\boldsymbol{\rho}_{3}\right) \tag{B-03} \end{equation}$$

$$\begin{equation} \left(\boldsymbol{\mathrm{M}}^{-1}\right)^{\mathsf{T}} = \text{the transposed inverse of} \: \boldsymbol{\mathrm{M}}= \dfrac{1}{\det\left(\boldsymbol{\mathrm{M}}\right)} \begin{bmatrix} \left(\boldsymbol{\rho}_{2} \boldsymbol{\times}\boldsymbol{\rho}_{3}\right) \\ \left(\boldsymbol{\rho}_{3} \boldsymbol{\times}\boldsymbol{\rho}_{1}\right) \\ \left(\boldsymbol{\rho}_{1} \boldsymbol{\times}\boldsymbol{\rho}_{2}\right) \end{bmatrix} \tag{B-04} \end{ecuacion} La expresión $\:\mathbf{a}\circ\mathbf{b}\:$ se define por \begin{equation} \mathbf{a}\circ\mathbf{b}=\mathrm{a}_{1}\mathrm{b}_{1}+\mathrm{a}_{2}\mathrm{b}_{2}+\mathrm{a}_{3}\mathrm{b}_{3} \tag{B-05} \end{equation}$$ que no debe confundirse con el producto interior habitual en $\:\mathbb{C}^{3}\:$ $$\begin{equation} \boldsymbol{\langle}\mathbf{a},\mathbf{b}\boldsymbol{\rangle}=\mathrm{a}_{1}\overline{\mathrm{b}}_{1}+\mathrm{a}_{2}\overline{\mathrm{b}}_{2}+\mathrm{a}_{3}\overline{\mathrm{b}}_{3} \tag{B-06} \end{equation}$$ Prueba: Sea $$\begin{equation*} \mathbf{h}=\boldsymbol{\mathrm{M}}\mathbf{a} \boldsymbol{\times}\boldsymbol{\mathrm{M}}\mathbf{b} \end{equation*}$$ Si $\:\left\lbrace \mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}\right\rbrace\:$ es una base ortonormal de $\:\mathbb{C}^{3}\:$ entonces se puede escribir formalmente, para dos vectores fila cualesquiera $$\begin{equation} \boldsymbol{\rho} \boldsymbol{\times}\boldsymbol{\sigma} = \begin{vmatrix} \mathbf{e}_{1} & \mathbf{e}_{2} & \mathbf{e}_{3} \\ \rho_1 & \rho_2 & \rho_3 \\ \sigma_1 & \sigma_2 & \sigma_3 \end{vmatrix} \end{equation}$$ ("formalmente" porque un determinante es un número, aquí el $\mathbf{e}_i$ son vectores). Por lo tanto $$\begin{equation} \mathbf{h} = \begin{vmatrix} \mathbf{e}_{1} & \mathbf{e}_{2} & \mathbf{e}_{3} \\ \left( \mathrm{M}_{11}\mathrm{a}_{1}+\mathrm{M}_{12}\mathrm{a}_{2} +\mathrm{M}_{13}\mathrm{a}_{3}\right) & \left( \mathrm{M}_{21}\mathrm{a}_{1}+\mathrm{M}_{22}\mathrm{a}_{2} +\mathrm{M}_{23}\mathrm{a}_{3}\right) & \left( \mathrm{M}_{31}\mathrm{a}_{1}+\mathrm{M}_{32}\mathrm{a}_{2} +\mathrm{M}_{33}\mathrm{a}_{3}\right) \\ \left( \mathrm{M}_{11}\mathrm{b}_{1}+\mathrm{M}_{12}\mathrm{b}_{2} +\mathrm{M}_{13}\mathrm{b}_{3}\right) & \left( \mathrm{M}_{21}\mathrm{b}_{1}+\mathrm{M}_{22}\mathrm{b}_{2} +\mathrm{M}_{23}\mathrm{b}_{3}\right) & \left( \mathrm{M}_{31}\mathrm{b}_{1}+\mathrm{M}_{32}\mathrm{b}_{2} +\mathrm{M}_{33}\mathrm{b}_{3}\right) \end{vmatrix} \end{equation}$$ o de forma más compacta $$\begin{equation*} \mathbf{h} = \begin{vmatrix} \mathbf{e}_{1} & \mathbf{e}_{2} & \mathbf{e}_{3} \\ \left(\boldsymbol{\rho}_{1}\circ\mathbf{a}\right) & \left(\boldsymbol{\rho}_{2}\circ\mathbf{a}\right) & \left(\boldsymbol{\rho}_{3}\circ\mathbf{a}\right) \\ \left(\boldsymbol{\rho}_{1}\circ\mathbf{b}\right) & \left(\boldsymbol{\rho}_{2}\circ\mathbf{b}\right) & \left(\boldsymbol{\rho}_{3}\circ\mathbf{b}\right) \end{vmatrix} \end{equation*}$$ así que $$\begin{eqnarray*} \mathrm{h}_{1} & = & \left(\boldsymbol{\rho}_{2}\circ \mathbf{a}\right)\left(\boldsymbol{\rho}_{3}\circ\mathbf{b}\right) -\left(\boldsymbol{\rho}_{2}\circ\mathbf{b}\right)\left(\boldsymbol{\rho}_{3}\circ\mathbf{a}\right)\\ & = & \boldsymbol{\rho}_{2}\circ\underbrace{\left[\left(\boldsymbol{\rho}_{3}\circ\mathbf{b}\right)\mathbf{a} -\left(\boldsymbol{\rho}_{3}\circ\mathbf{a}\right)\mathbf{b}\right]} _{\boldsymbol{\rho}_{3}\boldsymbol{\times}\left(\mathbf{a} \boldsymbol{\times}\mathbf{b}\right)} = \boldsymbol{\rho}_{2}\circ\left[\boldsymbol{\rho}_{3}\boldsymbol{\times}\left(\mathbf{a} \boldsymbol{\times}\mathbf{b}\right)\right]\\ & = & \left(\boldsymbol{\rho}_{2} \boldsymbol{\times}\boldsymbol{\rho}_{3}\right) \circ \left(\mathbf{a} \boldsymbol{\times}\mathbf{b}\right) \end{eqnarray*}$$ es decir
$$\begin{equation*} \mathrm{h}_{1}=\left(\boldsymbol{\rho}_{2} \boldsymbol{\times}\boldsymbol{\rho}_{3}\right) \circ \left(\mathbf{a} \boldsymbol{\times}\mathbf{b}\right) \end{equation*}$$ y por permutación cíclica de los índices 1,2,3 tenemos para las otras dos componentes $$\begin{equation*} \mathrm{h}_{2}=\left(\boldsymbol{\rho}_{3} \boldsymbol{\times}\boldsymbol{\rho}_{1}\right) \circ \left(\mathbf{a} \boldsymbol{\times}\mathbf{b}\right) \end{equation*}$$ $$\begin{equation*} \mathrm{h}_{3}=\left(\boldsymbol{\rho}_{1} \boldsymbol{\times}\boldsymbol{\rho}_{2}\right) \circ \left(\mathbf{a} \boldsymbol{\times}\mathbf{b}\right) \end{equation*}$$ y finalmente $$\begin{equation*} \mathbf{h}=\boldsymbol{\mathrm{M}}\mathbf{a} \boldsymbol{\times}\boldsymbol{\mathrm{M}}\mathbf{b} = \begin{bmatrix} \left(\boldsymbol{\rho}_{2} \boldsymbol{\times}\boldsymbol{\rho}_{3}\right) \\ \left(\boldsymbol{\rho}_{3} \boldsymbol{\times}\boldsymbol{\rho}_{1}\right) \\ \left(\boldsymbol{\rho}_{1} \boldsymbol{\times}\boldsymbol{\rho}_{2}\right) \end{bmatrix} \izquierda (símbolo de negrita a la derecha) = \left[\;\det\left(\boldsymbol{\mathrm{M}}\right)\cdot\left(\boldsymbol{\mathrm{M}}^{-1}\right)^{\mathsf{T}}; \right]\left(\mathbf{a} \boldsymbol{\times}\mathbf{b}\right) \Fin Obsérvese que para $\:\boldsymbol{\mathrm{M}}\:$ una matriz real ortonormal \begin{equation*} \boldsymbol{\mathrm{M}}\boldsymbol{\mathrm{M}}^{\mathsf{T}}=\boldsymbol{\mathrm{I}} \quad \Longrightarrow \quad \boldsymbol{\mathrm{M}}^{-1}=\boldsymbol{\mathrm{M}}^{\mathsf{T}} \text{ and } \det\left(\boldsymbol{\mathrm{M}}\right)=\pm 1 \end{equation*}$$ y la ecuación (B-02) da como resultado esperado $$\begin{equation} \left(\boldsymbol{\mathrm{M}}\mathbf{a} \boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathrm{M}}\mathbf{b}\right) =\pm\boldsymbol{\mathrm{M}}\left(\mathbf{a} \boldsymbol{\times}\mathbf{b}\right) \end{equation}$$ El signo "+" es válido para $\:\boldsymbol{\mathrm{M}}\:$ siendo una rotación pura mientras que el signo "-" es válido para $\:\boldsymbol{\mathrm{M}}\:$ una rotación más un reflejo.