Para lo cual $\beta \in \mathbb{C}$ es la matriz $A=\bigl(\begin{smallmatrix} 0&1\\1&\beta \end{smallmatrix}\bigr)$ ¿diagonalizable?

Question

Tengo una pregunta sobre el siguiente problema.

Sea $K=\mathbb{C}$ . Para lo cual $\beta \in \mathbb{C}$ ¿Es esta matriz diagonalizable? $$A=\pmatrix{0&1\\1&\beta}$$

Creo que no es diagonalizable en ningún caso, porque el determinante de $A-xI_n$ es $-1$ . ¿Estoy en lo cierto?

Answer 1

El polinomio característico es $P(x)=x^2-\beta x-1$ cuyo discriminante es $\Delta=\beta^2+4$

Si $\beta\neq\pm 2i$ Los valores propios son distintos y la matriz es diagonalizable.

Si $\beta=\pm 2i$ la raíz $2$ es doble y la matriz no es diagonalizable.