Tienes toda la razón que el límite en que esta aproximación tiene es
$$\beta(\epsilon - \mu) \gg 1 \,,$$
que no es trivial la 'alta temperatura límite", y de hecho se ve más bien como que el bajo límite de temperatura. Sin embargo, también se ve como el límite de grandes negativo $\mu$. Si queremos saber cómo la temperatura afecta a la exponente, necesitamos saber cómo la temperatura de los efectos que tendrán el potencial químico. Para continuar, supongamos que estamos tratando con un gas de la no-partículas que interactúan. El gran potencial es, en este límite,
$$ \Phi = -k_B T \ln \mathcal{Z} = -k_B T \int_0^\infty \ln \mathcal{Z}_\epsilon \,g(\epsilon)\,\mathrm{d}\epsilon \simeq -k_B T \int_0^\infty \ln \bigg(1 + \exp(-\beta(\epsilon - \mu))\bigg)\,g(\epsilon) \,\mathrm{d}\epsilon \,,$$
donde $\mathcal{Z}_\epsilon$ es la gran función de partición asociada con el nivel de energía $\epsilon$ $g(\epsilon)$ es la densidad de estados. La integral es, básicamente, una suma de las funciones de partición debido a que cada nivel de energía. Para llegar a la expresión final hemos asumido que podemos aproximar la gran función de partición así:
$$ \mathcal{Z}_\epsilon = \sum_{n} \bigg(\exp(-\beta(\epsilon - \mu))\bigg)^n \simeq 1 + \exp(-\beta(\epsilon - \mu)) \,,$$
que se corresponde con el límite indicado en la parte superior. Como un breve desvío, si queremos encontrar el promedio de ocupación de los niveles de energía $\epsilon$, podemos utilizar
$$ \langle N_\epsilon \rangle = -\left(\frac{\partial \Phi_\epsilon}{\partial \mu}\right)_{T,V} \simeq \exp(-\beta(\epsilon - \mu))\qquad \mathrm{where} \qquad \Phi_\epsilon = -k_B T \ln \mathcal{Z}_\epsilon\,,$$
que es la de Maxwell-Boltzmann distribución estábamos esperando (en la segunda igualdad hemos Taylor ampliado el logaritmo de conformidad con $\beta(\epsilon - \mu) \gg 1$). Ahora la densidad de estados de una imagen tridimensional de gas en una caja puede ser obtenida por medios estándar --- no te molestes en ir a través de aquí, pero el resultado final es:
$$ \Phi = -k_B TV\left(\frac{mk_B T}{2 \pi \hbar^2}\right)^{3/2} \exp(\beta \mu) \equiv -\frac{k_B T V}{\lambda^3} \exp(\beta \mu) \,,$$
donde la longitud de onda térmica $\lambda$ se ha definido adecuadamente. A partir de aquí podemos escribir
$$N_\mathrm{tot} \equiv N = -\left(\frac{\partial \Phi}{\partial \mu}\right)_{T,V} = \frac{V}{\lambda^3} \exp(\beta \mu) \,,$$
y por lo tanto
$$ \boxed{\mu = k_B T \ln \left(\frac{N \lambda^3}{V}\right) \,.}$$
Ahora, para responder a su pregunta. La condición en la que la parte superior puede ser considerado como el límite de $\beta \mu$ grande y negativo. Nos vimos anteriormente que
$$ \beta \mu = \ln\left(\frac{N \lambda^3}{V}\right) \qquad \mathrm{where} \qquad \lambda = \left( \frac{2 \pi \hbar^2}{mk_B T}\right)^{1/2} \,.$$
Esta cantidad será grande y negativo cuando el argumento del logaritmo es pequeño. Este será el caso de a) las bajas densidades $N/V$, b) las altas temperaturas $T$ y/o c) la gran masa de las partículas.
Usted debe pensar en el fondo, la situación en la que el límite clásico sostiene que cuando el número de térmicamente accesibles unidos es considerablemente superior a la del número de partículas. Esto es debido a que en tales circunstancias podemos ignorar múltiples ocupación de los niveles de energía, lo que significa que podemos pasar por alto los detalles más finos de partículas indistinguishability. En la canónica de distribución, cuando el número de estados es considerablemente superior a la del número de partículas de podemos cuenta para indistinguishability con un simple (pero aproximado) la corrección de la división de la función de partición por $N!$ --- debemos hacer esto incluso en el caso clásico, de lo contrario se corre en todo tipo de problemas como el de la paradoja de Gibbs. Sin embargo, cuando los estados comienzan a convertirse en multiplicar ocupada, esta simple receta falla, y tenemos que ser más sofisticados en nuestra consideración de la partícula indistinguishability.
Si usted se imagina que nuestro partículas de los gases como wavepackets con un ancho de $\lambda$ como se definió anteriormente, entonces se puede pensar de cada partícula como ocupando un volumen $\lambda^3$. Este tiene una buena interpretación --- cantidad $N \lambda^3/V$ que aparece en la expresión para el potencial químico puede ser pensado como la fracción de espacio ocupado por las partículas. El límite clásico corresponde a esta cantidad pequeña, por lo que es muy improbable que dos partículas en el mismo lugar --- es decir, estar en el mismo estado (aquí estoy, esencialmente, teniendo en cuenta los estados de nuestro sistema a la posición de autoestados en lugar de la habitual energía autoestados). Si esta cantidad se vuelve más grande, nos vamos 'de varios ocupación', y así nos imaginamos que nuestra aproximación clásica se descomponen. Esto es coherente: al $N \lambda^3 /V \sim 1$, el argumento del logaritmo en el potencial químico es no más grande y negativo, y de hecho la condición en la parte superior de esta página se rompe.
Espero que esto ayude!
