Construcción del grupo envolvente de un monoide

Question

Sea $M$ sea un monoide y sea $G$ sea el grupo que genera. $G$ puede describirse como el grupo obtenido a partir de $M$ mediante inversos formales contiguos. A pesar de esta simple descripción, estoy tratando de entender $G$ de forma más concreta.

Sea $S$ sea el conjunto subyacente de $M$ y que $T$ sea el conjunto $$ T=\bigsqcup_{n=0}^{\infty}(S\sqcup S)^n. $$ Elementos de $T$ pueden considerarse palabras construidas a partir de símbolos que están en $M$ (primero $S$ ) o en su inverso formal (segundo $S$ ). Creo que debería haber una forma bastante explícita de particionar $T$ de forma que cada elemento de $G$ corresponde a un conjunto único en la partición, y tal que:

1. el producto en $G$ proviene del uso de $M$ para multiplicar de alguna manera los elementos de la partición
2. la inversa en $G$ proviene de intercambiar de alguna manera las dos copias de $S$

Pregunta. ¿Existe una partición de $T$ que exhibe el grupo $G$ de esta manera?

Answer 1

Supongo que querrá definir el grupo fundamental de $M$ . Sea $\overline{M} = \{\overline{m} \mid m \in M\}$ sea una copia disjunta de $M$ y forman el monoide libre $(M \cup \overline{M})^*$ de base $M \cup \overline{M}$ . El cociente de este monoide por las relaciones $m \overline{m} = \overline{m}m = 1$ para $m \in M$ es el grupo libre $F(M)$ generado por $M$ . Para evitar confusiones entre los elementos de M y los elementos de $F(M)$ denotamos por $\iota: M \to F(M)$ la incrustación natural. Obsérvese que $\iota$ es no un morfismo monoide.

Le grupo fundamental de $M$ es el cociente $\pi_1(M)$ de $F(M)$ bajo las relaciones $\iota(u)\iota(v) = \iota(uv)$ para todos $u, v \in M$ . Sea $\pi: F(M) \to \pi_1(M)$ sea el morfismo de grupo sobre $\pi_1(M)$ . Entonces el morfismo monoide $\eta =\pi \circ \iota: M \to \pi_1(M)$ tiene la siguiente propiedad universal:

Para cada morfismo monoide $\gamma: M \to G$ i $\gamma(G)$ genera $G$ como grupo, existe un único grupo morfismo $\varphi: \pi_1(M) \to G$ tal que $\gamma = \varphi \circ \eta$ . Además $\varphi$ es suryectiva.