¿Cómo puedo determinar la función carasterística de $X^2$ ?

Question

Me pregunto cómo puedo demostrar que la función carasterística de $X^2$ dado que $X\in N(0,1)$ es $\varphi_{X^2}(t)=\frac{1}{\sqrt{1-2it}}$ .

He probado a utilizar el cambio de variables de forma que $Y=X^2\implies X=\sqrt{Y}$ y luego hallar la derivada que es $\frac{1}{2\sqrt{y}}$ para utilizarlo en la fórmula de transformación. Luego aplico $y$ en lugar de $x$ en la distribución normal estándar $\phi(x)=\frac{1}{2\pi}e^{\frac{-x^2}{2}}$ y luego usar eso para la fórmula de la función carasterística $\varphi_{X^2}(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{ity}e^{\frac{-y}{2}}\frac{1}{2\sqrt{y}}dy$ . Pero esta integral se complica demasiado y creo que mi método es erróneo. ¿Hay alguna forma de demostrar que $\varphi_{X^2}(t)=\frac{1}{\sqrt{1-2it}}$ ?

gracias

Answer 1

$$Y = {X^2} \Rightarrow f\left( y \right) = \frac{1}{{\sqrt {2\pi } }}{y^{ - \frac{1}{2}}}{e^{ - \frac{y}{2}}},x > 0.$$ (porque $Y \sim \chi _1^2$ ) $${\varphi _Y}\left( t \right) = \mathop \int \limits_0^\infty {e^{ity}} \cdot \frac{1}{{\sqrt {2\pi } }}{y^{ - \frac{1}{2}}}{e^{ - \frac{y}{2}}}dy = \frac{1}{{\sqrt {2\pi } }}\mathop \int \limits_0^\infty {y^{\frac{1}{2} - 1}}{e^{ - y\left( {\frac{1}{2} - it} \right)}}dy$$

utilizando

$$\mathop \int \limits_0^\infty {x^{\alpha - 1}}{e^{ - \beta x}}dx = \frac{{\Gamma \left( \alpha \right)}}{{{\beta ^\alpha }}}$$ obtenemos

$$ = \frac{1}{{\sqrt {2\pi } }} \cdot \frac{{\Gamma \left( {\frac{1}{2}} \right)}}{{{{\left( {\frac{1}{2} - it} \right)}^{\frac{1}{2}}}}} = \frac{1}{{\sqrt 2 \cdot \sqrt \pi }} \cdot \frac{{\sqrt \pi }}{{\frac{1}{{\sqrt 2 }} \cdot \sqrt {1 - 2it} }} = \frac{1}{{\sqrt {1 - 2it} }}$$ .