mapa adjunto y mapa dual del espacio producto interior complejo

Question

Conozco (a). pero no puedo resolver (b) y (c).

¿Puede ayudarme, por favor?

Answer 1

(b) Para un $w$ el mapa $v\mapsto\langle Tv,w\rangle$ es un funcional lineal, por lo que se puede aplicar (a) para obtener $T^*w$ .

(c) Para un $g\in W^*$ es decir $g:W\to\Bbb C$ lineal, entonces $T^tg=v\mapsto g(Tv)$ por definición. Aplicando (a) de nuevo, obtenemos que $g=\langle -,u\rangle$ es decir, con $u=\phi_W(g)$ . Así que.., $T^t\phi_W^{-1}u=v\mapsto g(Tv)=v\mapsto \langle Tv,u\rangle$ pero por (b) que es igual a $\langle v,T^*u\rangle$ llegando al mapa $\,\phi_V^{-1}T^*u$ .