¿Cuál es el DGLA que controla la teoría de la deformación de una submanifold compleja?

Question

Sea $X$ sea una variedad compleja, $Y\hookrightarrow X$ un submanifold compacto complejo. Sea $T_{X/Y}$ denotan el haz normal de $Y$ en $X$ y $\mathcal{O}(T_{X/Y})$ su gavilla de secciones holomorfas. Un resultado clásico, demostrado por Kodaira, es que si el grupo de cohomología $H^1(Y,\mathcal{O}(T_{X/Y}))$ desaparece, entonces la teoría de la deformación de $Y$ como un submanifold complejo de $X$ está libre de obstáculos. Más precisamente, existe una "familia máxima" de deformaciones de $Y$ en $X$ que consiste en un colector complejo $W$ (digamos con un punto marcado $w_0\in W$ ), una submanifold compleja $V$ de $W\times X$ tal que para cada punto $w\in W$ la intersección de $V$ con $w\times X$ es una submanifold compacta compleja de $X$ que en el caso $w=w_0$ es igual a $Y$ . Además, esta familia de submanifolds es "máxima" (o "universal") en un sentido apropiado. Al decir que el problema de la deformación no tiene obstáculos, me refiero a lo siguiente: para cualquier familia como la descrita anteriormente (maximal o no) existe un mapa lineal complejo inyectivo canónico desde el espacio tangente de $W$ en $w_0$ al espacio de secciones holomorfas de $T_{X/Y}$ es decir, el grupo de cohomología $H^0(Y,\mathcal{O}(T_{X/Y}))$ . Dada la hipótesis anterior de que $H^1(Y,\mathcal{O}(T_{X/Y}))=0$ este mapa es un isomorfismo. A grandes rasgos, se puede considerar una sección holomorfa del haz normal de $Y$ como una deformación de primer orden de $Y$ en $X$ y la no obstrucción significa que cada deformación de primer orden puede extenderse a una familia "honesta" de deformaciones.

Por otro lado, Kodaira no explora qué ocurre si se debilita la condición $H^1(Y,\mathcal{O}(T_{X/Y}))=0$ . Para una deformación de primer orden dada $v\in H^0(Y,\mathcal{O}(T_{X/Y})$ parece plausible que no sea necesario para todo el grupo $H^1(Y,\mathcal{O}(T_{X/Y}))=0$ desaparezca para que $v$ para extenderse a una familia honesta de deformaciones.

$\textbf{Question 1}$ : Para una deformación de primer orden dada $v\in H^0(Y,\mathcal{O}(T_{X/Y}))$ ¿hay alguna forma de determinar cuándo $v$ se extiende a una familia honesta de deformaciones? En particular, ¿existe un mapa $T:H^0(Y,\mathcal{O}(T_{X/Y}))\to H^1(Y,\mathcal{O}(T_{X/Y}))$ que puede describirse de forma razonablemente explícita de modo que $v$ se extiende si y sólo si $T(v)=0$ ?

Una posible solución a este problema sería derivar una ecuación del tipo Maurer-Cartan. Tengo entendido que, en general, cabe esperar que la teoría de la deformación de casi cualquier estructura esté controlada por un álgebra de Lie graduada diferencial (DGLA), con deformaciones (quizá formales) correspondientes a soluciones de la ecuación de Maurer-Cartan. Un candidato para el AGD en el ejemplo anterior sería el espacio de secciones del complejo de Dolbeault $\Omega^{\bullet}(Y;\Lambda^{\bullet}T_{X/Y})$ asociado al haz vectorial holomorfo $\Lambda^{\bullet} T_{X/Y}$ . Esto viene equipado con el diferencial Dolbeault, pero no es obvio Lie soporte (al menos no es obvio para mí).

$\textbf{Question 2}:$ Puede $\Omega^{\bullet}(Y;\Lambda^{\bullet}T_{X/Y})$ tenga la estructura de un DGLA (es decir, equipado con un soporte compatible con la diferencial de Dolbeault), de modo que las deformaciones formales de $Y$ como un submanifold complejo de $X$ vienen dadas por las soluciones de la ecuación de Maurer-Cartan? Si no es así, ¿existe algún otro DGLA que controle la teoría de la deformación de un submanifold complejo que tenga una descripción "geométrica" (es decir, como el espacio de secciones de algún haz vectorial)?

Answer 1

Yo también sugeriría el artículo de Donatella Iacono como referencia básica. Sólo añadiré aquí unas líneas para complementar la respuesta de Urs Schreiber explicando en qué sentido el $\infty$ -punto de vista de los grupoides aclara lo que ocurre aquí (si mi memoria no me está jugando una mala pasada, en el trabajo con Elena Martinengo no hacemos no abordamos el problema de las deformaciones de los submanifaldos, aunque la tecnología necesaria tecnología necesaria). Así que estas pocas líneas deben leerse como un "Cómo leer los resultados de Donatella Iacono por un $\infty$ -punto de vista de los grupoides".

Lo que se hace es pasar de functores de deformación Set-valued a $\infty$ -groupoides valorados functores de deformación (se denominan "moduli formales formales" en el DAG X de Lurie). Se recupera el funtor de deformación clásico a partir de el $\infty$ -groupoid valorado uno simplemente tomando $\pi_0$ . Sin embargo (y esta es la razón para preferir el $\infty$ -groupoid valued version), las cosas se comportan de forma mucho más natural en la $\infty$ -ya que aquí se pueden hacer construcciones invariantes de homotopía.

Más concretamente, si denotamos por $Def_{\mathfrak{g}}$ el $\infty$ -functor de deformación con valor de grupoide asociado a un álgebra de Lie diferencial graduada $\mathfrak{g}$ entonces la asociación $\mathfrak{g}\mapsto Def_{\mathfrak{g}}$ establece una equivalencia de $(\infty,1)$ categorías entre álgebras de Lie graduales diferenciales y problemas de módulos formales (véase DAG X de Lurie o "Unifying derived deformation theories" de Pridham). Esto significa, en particular, que si el problema de deformación que nos interesa surge como un límite (homotópico) de problemas de deformación más sencillos para los que conocemos álgebras de Lie graduales diferenciales $\mathfrak{g}_i$ que los rige, entonces el problema que nos interesa estará regido por el límite (homotópico) de la $\mathfrak{g}_i$ 's.

Por ejemplo, consideremos el problema de $Def_{Z\hookrightarrow X}$ de deformaciones infinitesimales de una submanifold compleja $Z$ dentro de un colector complejo $X$ . Tal deformación es equivalentemente el dato de una deformación del par $(Z,X)$ junto con el dato de una trivialización de la deformación de $X$ . Por tanto, si denotamos por $Def_{(Z,X)}$ y por $Def_X$ los funtores de deformación que describen las deformaciones infinitesimales del par y de $X$ respectivamente, vemos que el problema $Def_{Z\hookrightarrow X}$ que nos interesa es la fibra (homotópica) del morfismo olvidadizo $Def_{(Z,X)}\to Def_X$ . Tanto para $Def_X$ y $Def_{(Z,X)}$ es sencillo describir dglas que los rigen. Son el complejo Dolbeault en $X$ con coeficientes en la gavilla tangente de $X$ y el subdgla de éste dado por el núcleo del morfismo natural al complejo de Dolbeault sobre $Z$ con coeficientes en la gavilla normal de $Z$ (es decir, por formas diferenciales sobre $X$ con coeficientes en la gavilla tangente de $X$ que, restringido a $Z$ son tangentes a $Z$ induciendo así una deformación de $Z$ ). La dgla que rige $Def_{Z\hookrightarrow X}$ será, por tanto, la fibra homotópica de esta inclusión.

Dado que la estructura de la categoría modelo sobre las álgebras de Lie graduales diferenciales está inducida por la de los complejos de cadenas, como complejo de cadenas la fibra homotópica de la inclusión del núcleo anterior es cuasi isomorfa al complejo de Dolbeault sobre $Z$ con coeficientes en la gavilla normal de $Z$ desplazado un grado. Y por la transferencia homotópica de $L_\infty$ -estructuras, esto significa que existe una $L_\infty$ -en el complejo de Dolbeault desplazado de $Z$ con valores en $N_{X/Z}$ extendiendo la estructura compleja de la cadena, de modo que el functor de deformación asociado es $Def_{Z\hookrightarrow X}$ . Esto responde a la pregunta 2.

En particular, se recupera el hecho bien conocido de que el espacio tangente a $Def_{Z\hookrightarrow X}$ es $H^0(Z, N_{X/Z})$ es un grupo de cohomología de grado 1 para el complejo de Dolbeault desplazado. Del mismo modo, se observa que $H^1(Z, N_{X/Z})$ es un espacio de obstrucción para $Def_{Z\hookrightarrow X}$ .

Answer 2

Este de Donatella Iacono podría serle de ayuda.

Answer 3

Esto puede ser útil:

Domenico Fiorenza, Elena Martinengo, Una breve nota sobre ∞-grupoides y el mapa de periodo para variedades proyectivas Publicaciones del nLab vol. 2 nº 1 (2012) (arXiv:0911.3845)