Hom $(G,A)$ $\cong$ Hom $(G/G',A)$

Question

Sea $G$ es un grupo y $\varphi: G\longrightarrow A$ cualquier homomorfismo de grupo en el que $A$ es abeliano. Entonces $$\text{Hom}(G,A)\cong \text{Hom} \left(\frac{G}{G'},A\right)$$

Lo que tenemos aquí es, para todo homomorfismo $\varphi: G\longrightarrow A$ :

1. $G'\trianglelefteq \ker(\varphi)\trianglelefteq G$

2. $\frac{G}{G'}/\frac{\ker(\varphi)}{G'}\cong \frac{G}{\ker(\varphi)}\leq A$

Supongo $\psi:\frac{G}{G'}\longrightarrow A$ sea un homomorfismo arbitrario. Para estar seguros, si $$\Phi: \text{Hom}(G,A)\longrightarrow \text{Hom} (\frac{G}{G'},A)$$ con $\Phi(\varphi)=\psi, \varphi(g)=\psi(gG'), g\in G$ ¿es una opción adecuada para obtener nuestro resultado? Gracias.

Answer 1

Sabes que el subgrupo conmutador $G'$ es el subgrupo normal más pequeño (con respecto a la inclusión) en $G$ tal que $G/G'$ es abeliano. Ahora creo que tu elección de $\Phi$ es la correcta: Por definición del subgrupo conmutador, dado cualquier homomorfismo $\varphi$ a un grupo abeliano $A$ tenemos que $G/\ker \varphi \cong$ (algún subgrupo de un grupo abeliano) que es abeliano, de lo que se deduce por la propiedad universal de los cocientes que siempre obtenemos a único homomorfismo de grupo

$$\psi : G/G' \longrightarrow A.$$

tal que $\psi \circ \pi = \varphi$ donde $\pi : G \longrightarrow G/G'$ . Ahora defina $\Phi : \hom(G,A) \longrightarrow \hom(G/G',A)$ por $\Phi(\varphi) = \psi$ . La unicidad de $\psi$ garantiza que $\Phi$ está bien definido . Para demostrar que $\Phi$ es un isomorfismo, se puede definir un inverso

$$\begin{eqnarray*} \Psi:&\hom(G/G',A)&\to \hom(G,A)\\ &f& \mapsto f \circ \pi.\end{eqnarray*}$$

Es evidente que $\Psi$ está bien definido. Ahora comprobamos que es la inversa de $\Phi$ . Hemos dado cualquier $f \in \hom(G/G',A)$ que

$$\Phi\circ \Psi(f) = \Phi(f \circ \pi) = f$$

donde el último paso se sigue por lo siguiente. $\Phi(f \circ \pi)$ se supone que es el único mapa lineal $g : G/G' \to A$ tal que $g \circ \pi = f \circ \pi$ , estableciendo claramente $f = g$ funciona y por tanto por unicidad se deduce que $\Phi(f \circ \pi) = f$ . Dado que esto es válido para todos los $f \in \hom(G/G',A)$ concluimos que

$$\Phi \circ \Psi = \textrm{id}_{\hom(G/G',A)}.$$

un cálculo similar muestra que $\Psi \circ \Phi$ es la identidad en $\hom(G,A)$ de lo que se deduce que $\Psi$ y $\Phi$ son inversos mutuos.