¿Cuál es la suma infinita falsa de una media de serie?

Question

Para cualquier serie geométrica con | $r$ | < 1, sé que

$$\sum_{k=1}^{∞} ar^{k-1} =\frac{a}{1-r}$$

Pero si | $r$ | > 1 y trate de usar la fórmula, usted conseguirá una respuesta extraña. Por ejemplo:

$$4+8+16+32+64+128+... =\sum_{k=1}^{∞} (4)2^{k-1}= \frac{4}{1-2} = -4$$

Esta respuesta obviamente no tiene sentido; la serie diverge. Así que, ¿qué significa -4? ¿De dónde viene y cómo se relaciona con la serie? Debe ser significativo de alguna manera.

Answer 1

Para una serie truncada, tenemos

$$\sum_{k=1}^Kar^{k-1}=a\frac{1-r^K}{1-r} \tag 1$$

$a=4$ Y $r=2$, el uso de $(1)$ revela

$$\sum_{k=1}^K4\left(2\right)^{k-1}=4\frac{1-2^K}{1-2}=2^{K+2}-4$$

$-4$ Aparece como el "componente convergente" de la serie divergente (como $K\to \infty$).

Answer 2

Veamos la fórmula para un finito serie geométrica primera. Si $a$ es el primer término, $r$ es la razón común, y $n$ es el número de términos, entonces su suma es igual a $a\frac{1-r^n}{1-r}$. Ahora, si $|r|<1$, podemos ver que como $n$ va al infinito la $r^n$ plazo desaparece, dejando a la conocida fórmula de $a\frac{1}{1-r}$. Así, las series geométricas infinitas fórmula de la suma hace la suposición de que $|r|<1$.

Con la serie geométrica finita fórmula de la suma, podemos reescribir de la siguiente manera:

$$a\frac{1-r^n}{1-r}$$

$$=a\frac{r^n-1}{r-1}$$

$$=\frac{a}{r-1}r^n - \frac{a}{r-1}$$

Recuerde, una infinita suma es el límite como $n\to\infty$ de una suma finita. Ahora, sabemos que la suma infinita supone que $r^n$ va a 0. Si asumimos que el primer término se va a 0 a pesar de que no, terminamos con el segundo término de la última línea: $$\frac{-a}{r-1}$$

Si usted mira en los términos de forma individual, se puede ver que como $n\to\infty$ el primer término se extiende hacia el infinito. En un sentido, se puede pensar que el número que se obtiene como "ignorando el infinito de la contribución" a la suma (a pesar de que esta idea es muy informal). Es lo que la suma habría sido si el primer término desaparecido, como lo hace cuando $|r|\lt1$.

Answer 3

Esto es una manera de asignar significado a una suma de lo contrario divergente.

Ver "serie divergente".

El tema es grande.

Answer 4

Se trata de una estimación. Si usted se verá cómo se deriva esta estimación se verá inmediatamente que la suma va al infinito debido a $r^n$ en la suma