Demostrar que un espacio es simplemente conexo

Question

He estado leyendo este libro (A Basic Course in Algebraic Topology, de William Massey) para prepararme para un curso de topología algebraica que voy a hacer pronto, y he tenido problemas con este ejercicio.

Sea ${U_i}$ sea un recubrimiento abierto del espacio X que tenga las siguientes propiedades:

(a) Existe un punto $x_0$ tal que $x_0$ $U_i$ para todo i.

(b) Cada $U_i$ está simplemente conectada.

(c) Si ij, entonces $U_i$ $U_j$ está conectada por arcos.

Demuestra que X es simplemente conexo.

El libro insinúa demostrar que cualquier bucle f: I $\to$ X (donde I = [0,1] ) basado en $x_0$ es trivial. Sé que debería usar el hecho de que { $f^{-1}$ ( $U_i$ )} es una cobertura abierta del espacio compacto I, lo que significa que existe una subcobertura finita de I. Sin embargo, no estoy seguro de cómo proceder a partir de ahí. Agradecería cualquier pista. Gracias de antemano.

Answer 1

Toma un camino $\phi\colon I \to X$ empezando y terminando en $x_0$ . A partir del lema del número de Lebesgue ( Demostración del lema del número de Lebesgue ) para la cobertura $\phi^{-1}(U_i)$ de $I$ concluimos que existe $n \ne 1$ para que $[\frac{k-1}{n}, \frac{k}{n}]$ está dentro de algún $\phi^{-1}(U_i)$ Eso es, $\phi([\frac{k-1}{n}, \frac{k}{n}] )\subset U_{i_k}$ . Para $1< k <n$ , $k$ natural, el punto $\phi(\frac{k}{n})$ está en $U_{i_k}\cap U_{i_{k+1}}$ y también $x_0$ . Toma un camino $\psi_k \colon I \to U_{i_k}\cap U_{i_{k+1}}$ conectando $x_0$ y $\phi(\frac{k}{n})$ .

Estos son los pasos :

Descomponer $\phi$ en una composición de $n$ caminos $\phi_k$ que son básicamente las restricciones de $\phi$ a $[\frac{k-1}{n}, \frac{k}{n}]$

Demuestra que

$$\phi_1 \star \ldots \star \phi_n \simeq \phi_1 \star \psi_1^{-1} \star \psi_1 \star \phi_2 \star \psi_2^{-1} \ldots \star \phi_n $$

Para cada $k$ el camino $\psi_{k-1}\star \phi_k \star \psi_k$ es una mirada cerrada en $U_{i_k}$ y, por tanto, homotópica a un camino trivial.

Junta las piezas para obtener una homotopía del bucle $\phi$ al bucle constante en $x_0$ .

Hay algunas formas alternativas y equivalentes de definir la composición de caminos y la equivalencia de caminos, algunas de las cuales facilitan ciertas pruebas (compárese con la composición de caminos en el libro de Crowell y Fox, Knot Theory). http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/papers/crowfox.pdf .