Algunas observaciones iniciales:
- Utilizar la aritmética modular sólo puede perjudicarnos, porque hace que más números sean iguales a otros números, de modo que es más probable que una fila sea una combinación lineal de otras filas.
- Si por " $m$ sistema numérico de componentes" se refiere a algo donde los componentes son números reales, la multiplicación es asociativa y la división es posible, entonces el sólo sistemas numéricos así son los reales, los complejos y los cuaterniones .
- Una vez que tengamos un ejemplo para el $n=m$ caso, si no fuera por la condición de orden, podríamos mantener el mismo $x$ y añadir más columnas para $n>m$ porque el rango de filas no puede bajar, y ya está lleno con sólo $m$ filas.
- En los números complejos y en los cuaterniones puede tomar el $a^\text{th}$ raíz de los números sin ningún problema, así que si no fuera por el "orden $na$ "la condición $x^a$ podría sustituirse por $x$ en esos casos sin perder un ápice de generalidad.
Los números reales ( $m=1$ )
Si no fuera por la condición de orden, entonces cualquier $x$ funciona para cualquier $n,a$ y $x=0$ funciona para no $n,a\ge1$ .
Para tener en cuenta la condición de orden, obsérvese que los únicos números reales con orden finito son $\pm1$ por lo que los únicos casos permitidos son $x=-1,a=2,n=1$ , $x=-1,a=1,n=2$ y $x=1,a=1,n=1$ . $\left[(-1)^2\right]=[1]$ , $\begin{bmatrix}-1&1\end{bmatrix}$ y $[1]$ todos tienen rango completo.
Los números complejos ( $m=2$ )
En primer lugar, ignoremos la condición de orden y averigüemos qué soluciones podemos obtener con $a=1,n=2$ . Como la matriz es cuadrada, podemos utilizar simplemente el determinante para comprobar el rango completo . Si $x=A+Bi$ entonces $x^2=A^2-B^2+2ABi$ para que la matriz sea $\begin{bmatrix}A&A^2-B^2\\B&2AB\end{bmatrix}$ . El determinante es $B(A^2+B^2)$ que es distinto de cero exactamente cuando $B\ne0$ . Tenga en cuenta que no hay $B=0$ caso de tener rango completo incluso por una columna posterior ( $n>2$ ), porque si $B=0$ entonces la segunda fila contiene todos ceros.
Ahora, cuando imponemos la condición de orden, necesitamos que el orden sea $na$ y necesitamos $x^a$ no ser real. Los únicos números reales de orden finito son $\pm1$ y $n\ge2$ así que el único problema del que preocuparse es $x^a=-1$ , $n=2$ . Pero a la inversa, el orden $2a\,$ fuerzas $x^a=-1$ desde $x^a$ es una raíz cuadrada de $1$ y el orden no es $a$ . Por lo tanto, sólo tienes que elegir $n>2$ y cualquier $a$ y que $x$ sea una primitiva $\left(na\right)^{\text{th}}$ raíz de la unidad, y funcionará (y nada más lo hará).
Los cuaterniones ( $m=4$ )
De nuevo, ignoremos la condición de orden y supongamos que $a=1,n=4$ esta vez. Dejar $x=R+Ai+Bj+Ck$ nuestra matriz se convierte en $$\begin{bmatrix}R&R^2-A^2-B^2-C^2&R\left(R^2-3A^2-3B^2-3C^2\right)&\star\\A&2AR&A(3R^2-A^2-B^2-C^2)&4AR(R^2-A^2-B^2-C^2)\\B&2BR&B(3R^2-A^2-B^2-C^2)&4BR(R^2-A^2-B^2-C^2)\\C&2CR&C(3R^2-A^2-B^2-C^2)&4CR(R^2-A^2-B^2-C^2)\end{bmatrix}$$ Dónde $\star=R^4+A^4+B^4+C^4-6R^2(A^2+B^2+C^2)+2\left(A^2B^2+A^2C^2+B^2C^2\right)$ . El problema con esto es que las filas 2,3 y 4 son todas múltiplos entre sí (o peor: cero), por lo que este $4\times4$ puede tener un rango máximo de 2. Como en el caso complejo, el rango es igual a 2 siempre que $x$ no es real.
Tampoco hay esperanza de obtener una matriz de mayor rango tomando $n>4$ (puede demostrarlo con la forma polar de un cuaternión por ejemplo). Todo esto está relacionado con el hecho de que los subrings conmutativos de los cuaterniones son copias de $\mathbb C$ .
Ni siquiera tenemos que pensar en la condición de orden porque no hay forma de conseguir el rango completo y punto.
