Demostrar que el ortante positivo es abierto (verificación de la prueba)

Question

Estoy practicando mi redacción de pruebas y esperaba que pudiera decirme si esta prueba tiene buena pinta. Me gustaría saber si la prueba es incorrecta, si hay partes que son demasiado extensas/complicadas, o si me falta algún elemento de una prueba que es útil ver, si no es estrictamente necesario.

El mensaje:

Demostrar que el ortante positivo R ₊ m es un subconjunto abierto de R m .

Mi prueba: Sea x sea un elemento arbitrario de R ₊ m . Sea = inf x _i para todo i = 1,...,m. Definamos ahora la bola abierta B (x) = {y R m | || x - y || < }. El punto más cercano al exterior de R ₊ m estará en línea recta desde x en la dimensión de x que más se acerque a 0 (llámese dimensión k, por lo que x _k \=inf x _i ). Por lo tanto, fijar todos los valores de y _i \= x _i excepto cuando i=k. Entonces:

|| x - y || = sqrt((x _k 2 -y _k 2 )+0+0...) = x _k - y _k <

x _k - y _k < inf x _i

x _k - inf x _i < y _k

0 < y _k

Así que y _k > 0 y puesto que y _i \= x _i R ₊ para todos los demás i, y R ₊ m . Dado que cualquier elemento de R ₊ m tiene una bola abierta en R ₊ m que lo rodea, R ₊ m está abierto.

Answer 1

Es un buen comienzo, pero luego empieza a ser un poco farragoso/excesivamente complicado. Aquí hay algunos puntos que podrían hacer las cosas más suaves.

• Utiliza $x_i$ sin definirlos. Puede escribir "let $x = (x_1,\dots,x_m) \in \mathbb{R}_+^m$ ".
• Luego, escribiendo $$ \epsilon = \inf_{i=1,...,m} x_i > 0 $$ sería una mejor notación.
• Usted no define la norma $\| \cdot \|$ . Puede que se haya dado antes, pero no lo sabemos. Aparentemente, es la norma euclidiana.
• La cuestión principal es esta misteriosa frase "El punto más cercano al exterior de $\mathbb{R}_+^m$ estará en línea recta desde x en la dimensión de x más próxima a $0$ (llámese dimensión k, por lo que $x_k=\inf x_i$ )" No está claro lo que quieres decir aquí, y esto se basa mucho en la intuición bidimensional. Lo que realmente quieres demostrar es que la bola $B_{\epsilon}(x)$ sí está incluido en el octante positivo. Esto significa que $$ y = (y_1,\dots,y_n) \in B_{\epsilon}(x), $$ y demostrar que $y \in \mathbb{R}_+^m$ es decir, que $y_i > 0$ para cada $i$ . ¿Puedes obtener esto, usando la desigualdad de triángulos y tu definición de $\epsilon$ ?