Motivación fundamental para varias variables complejas

Question

Tengo 3 razones abstractas generales para preocuparme por el análisis complejo en una sola variable:

1. El laplaciano es, hasta un múltiplo constante, la única ODP invariante de isometría en el plano, por lo que es abstractamente muy importante. Las funciones holomorfas están íntimamente relacionadas con las funciones armónicas, por lo que las funciones holomorfas son importantes.

2. Los mapas holomorfos son conformes si tienen derivadas no evanescentes.

3. Muchos resultados de variable real se comprenden más fácilmente a la luz del análisis complejo (factorización de polinomios reales, radio de convergencia de series de potencias reales, etc.).

Actualmente no dispongo de tal justificación para varias variables complejas. La conexión con las funciones armónicas se rompe en su mayor parte. La conformidad se rompe. No he visto aplicaciones a fenómenos de variable real.

¿Alguien puede darme una idea de la situación general? ¿Dónde aparecen los fenómenos estudiados en varias variables complejas (dominios de holomorfía y similares) en el resto de las matemáticas?

Answer 1

Para complementar la respuesta de Alexandre, existe una aplicación de la SCV en física, en la teoría cuántica de campos. Se puede demostrar que ciertas cantidades ( $n$ -funciones puntuales $G(x_1,\ldots,x_n)$ ) que aparecen en los modelos de campos cuánticos (libres) son analíticos en su $n$ $R^4$ (mientras que sus transformadas de Fourier son esencialmente hiperfunciones). La continuación analítica en $n$ $\mathbb{C}^4$ argumentos de la $n$ -y sus transformadas de Fourier permite demostrar algunos resultados importantes desde el punto de vista físico. Por ejemplo, la demostración del teorema del espín-estadística (los fermiones tienen espín semi-integral y los bosones espín integral) en el libro clásico de Streater y Wightman utiliza algunos resultados del VCS (teorema del borde de la cuña y algunas propiedades analíticas de las transformadas de Fourier).

Answer 2

Siegel desarrolló la teoría de las funciones holomorfas de varias variables complejas para estudiar los espacios simétricos hermitianos (especialmente el espacio modular de Siegel).