Motivación fundamental para varias variables complejas

Question

Tengo 3 razones abstractas generales para preocuparme por el análisis complejo en una sola variable:

1. El laplaciano es, hasta un múltiplo constante, la única ODP invariante de isometría en el plano, por lo que es abstractamente muy importante. Las funciones holomorfas están íntimamente relacionadas con las funciones armónicas, por lo que las funciones holomorfas son importantes.

2. Los mapas holomorfos son conformes si tienen derivadas no evanescentes.

3. Muchos resultados de variable real se comprenden más fácilmente a la luz del análisis complejo (factorización de polinomios reales, radio de convergencia de series de potencias reales, etc.).

Actualmente no dispongo de tal justificación para varias variables complejas. La conexión con las funciones armónicas se rompe en su mayor parte. La conformidad se rompe. No he visto aplicaciones a fenómenos de variable real.

¿Alguien puede darme una idea de la situación general? ¿Dónde aparecen los fenómenos estudiados en varias variables complejas (dominios de holomorfía y similares) en el resto de las matemáticas?

Answer 1

En mi opinión, hay dos razones muy generales por las que las funciones analíticas son importantes.

1. Las soluciones de muchas (casi todas) las ecuaciones diferenciales (y funcionales) importantes son analíticas. Por ejemplo todas las funciones elementales y especiales surgen de este modo. Además, también suelen ser funciones analíticas de parámetros.

2. Análisis armónico. Transformadas de Fourier (Laplace). Incluye las funciones generatrices como caso especial. En muchos casos son analíticas.

Creo que casi todos los casos de funciones analíticas en matemáticas y en la vida real se pueden rastrear a una de estas dos fuentes generales.

Ambas motivaciones fundamentales se aplican no sólo a las funciones analíticas de una variable, sino también a funciones analíticas de varias variables.

Históricamente, parece que las primeras funciones analíticas de varias variables que se estudiaron fueron funciones abelianas, que aparecen en el problema de inversión de integrales abelianas (es decir, aparecen como soluciones de ciertos sistemas de ecuaciones diferenciales). Estas ecuaciones aparecen tanto en matemáticas puras (inversión de integrales abelianas) como en física (sistemas integrables). (sistemas integrables). Se estudiaron mucho antes de que se desarrollara la teoría general de varias variables complejas. variables complejas.

Luego viene la segunda fuente (ya en el siglo XX): el teorema de Wiener-Paley y su multidimensional multidimensional, el análisis de Fourier, que a su vez se desarrolló como método de resolución de EDP.

¿Menciona específicamente aplicaciones en geometría algebraica? ¡Sólo tienes que abrir el libro de Griffiths Harris! Y para aplicaciones en "análisis real", mira al menos el índice del libro de Hormander ¡Linear differential operators!

Answer 2

La razón por la que me interesan las funciones con varias variables complejas es la formalismo resolvente . Para resolver un problema de álgebra lineal, hay que traducirlo a un problema de análisis complejo (con varias variables) y dejar que herramientas como el teorema de Cauchy y el principio de argumentación (para funciones de una sola variable compleja) lo resuelvan. La mejor demostración que conozco de que una matriz tiene una forma normal de Jordan es la siguiente, y está muy bien explicada AQUÍ . Presenté esta prueba en el curso introductorio de Análisis Complejo que acabo de terminar como ilustración del poder del análisis complejo, ¡no importa el número de variables!

Lo mejor de los resolventes es que funcionan igual de bien cuando la dimensión es infinita (estudiando operadores en espacios de Hilbert en lugar de simples transformaciones lineales en espacios vectoriales de dimensión finita). Por tanto, son una base para Teoría de Fredholm .

Answer 3

Decir que $F$ es holomorfo es decir en un sentido que depende sólo de la "mitad" de las variables $(\partial F/\partial\bar z_j=0)$ . Esto es análogo a las funciones de onda de la mecánica cuántica que sólo dependen de $q$ es decir, sólo en la "mitad" de las variables del espacio de fases $(p,q)$ . La analogía se precisa con la teoría de la polarizaciones en cuantificación geométrica y el método orbital .

Por ejemplo, un grupo de Lie reductor tiene algunas de sus representaciones unitarias irreducibles unidas a hiperbólico órbitas coadjuntas (formadas por matrices con valores propios reales), otras a elíptica órbitas (formadas por matrices con valores propios imaginarios). Mientras que las primeras admiten polarizaciones reales que conducen a representaciones en $L^2$ sobre un espacio de la mitad de la dimensión (es decir, análisis real), las segundas admiten polarizaciones complejas que conducen a representaciones en secciones holomorfas sobre la órbita (o cohomología de Dolbeault de la misma; es decir, análisis complejo).

Un ejemplo clásico de la historia elíptica es el Borel-Weil ( -Fondo ) de todas las representaciones irreducibles de grupos de Lie compactos. Esto implica funciones holomorfas en el grupo complejizado de manera esencial.

Answer 4

Hasta ahora, las motivaciones han sido sobre todo de tipo analítico. Permítanme añadir una alien motivación.

Supón que fueras un extraterrestre que sólo conoce el campo numérico complejo $\mathbb{C}$ como objeto fundamental (digamos, porque es Cauchy completo y algebraicamente cerrado) y considera $\mathbb{R}$ sólo como un objeto menor (del mismo modo que consideramos -digamos- los enteros de Eisenstein). Y supongamos que se te ocurriera el concepto de incremento y de derivada y luego de diferencial: entonces, ¿qué Análisis estudiarías? Y supongamos que eres capaz de imaginar la noción de colector como un espacio con coordenadas locales en tu campo favorito: ¿qué geometría estudiarías naturalmente?

Por supuesto, las respuestas son, respectivamente, "Análisis complejo" y "Múltiplos holomorfos".

Así que, aunque seas un Terrestre, cegado por nociones de orden lineal, ¿no es $\mathbb{C}$ un objeto muy fundamental? Si es así, entonces hacer SCV y Geometría Analítica Compleja es simplemente hacer las cosas naturales con él.

Answer 5

Si esas son sus razones para interesarse por el análisis complejo, no sé hasta qué punto puedo convencerle de que se interese por SCV.

Pero he aquí por qué me gusta SCV: me gusta el cálculo multivariable y me gustan los números complejos. Siempre me he preguntado qué pasaría si juntaras las dos cosas. Y, al parecer, ocurren cosas bastante disparatadas (en comparación con el caso de una sola variable o de una variable real).

También me interesa mucho la geometría compleja. La teoría local de las variedades complejas incluye la SCV.

Un último comentario: Su razón (1) para preocuparse por holomórfico funciones es de hecho mi razón para preocuparme por armónico funciones (para las que de otro modo desearía motivación).