Esta es una pregunta respecto de los ejercicios (II.2.15) en Kunen de la Teoría de conjuntos (2011):
El ejercicio dice:
"Veremos más adelante que $ZFC\vdash $Con$(\Gamma)$ siempre $\Gamma$ es un subconjunto finito de $ZFC$. Utilice esta opción para definir de forma explícita, en $ZFC$, una relación binaria $E$ $\omega$ tal que $ZFC\vdash\varphi^{\omega,E}$ por cada axioma $\varphi$$ZFC$".
Mi entendimiento es que estoy probando un esquema en el metatheory. es decir, dado un axioma $\varphi$$ZFC$, quiero demostrar que la $ZFC\vdash[(\omega;E)\models\varphi$]. Entiendo que esto no implica, necesariamente, $ZFC\vdash[(\omega;E)\models ZFC]$ desde $(\omega;E)\models ZFC$ es una frase de $ZFC$ y si este fuera el caso, entonces tendríamos $ZFC\vdash$Con$(ZFC)$.
Es mi entendimiento correcto hasta el momento?
Ahora la sugerencia de lecturas:
"Lista de los axiomas de la $ZFC$ en algunos computable manera, como {$\xi_i:i<\omega$}; vamos a $ZFC_n=${$\xi_i:i<\omega$}. De trabajo en $ZFC$, podemos definir a la $\Gamma$ $ZFC$ si $ $Con$(ZFC)$; si $\neg $Con$(ZFC)$, vamos a $\Gamma=ZFC_n$ donde $n$ es más grande que el $ $Con$(ZFC_n)$. Entonces claramente $ $Con$(\Gamma)$, y observar que la prueba del Teorema de Completitud de los rendimientos explícitos $E$ tal que $(\omega;E)\models \Gamma$".
Ahora mi entendimiento es que para cada axioma $\varphi$ $ZFC$ quiero mostrar:
1) $ZFC+$Con$(ZFC)\vdash[(\omega;E)\models \varphi]$
2) $ZFC+\neg $Con$(ZFC)\vdash[(\omega;E)\models \varphi]$
y después mostrando 1) y 2), entonces se sigue que $ZFC\vdash[(\omega;E)\models\varphi$].
1) parece sencillo, pues argumentando en $ZFC+ $Con$(ZFC)$, lo $ZFC$ tiene un modelo por el teorema de Completitud, y lo que puedo conseguir un contable estructura $(\omega,E)$ modelo $ZFC$ con un poco de trabajo, y mediante el uso de la prueba del Teorema de Completitud. Así que ya me has demostrado que $ZFC+$Con$(ZFC)\vdash[(\omega;E)\models ZFC]$, entonces se sigue que $ZFC+$Con$(ZFC)\vdash[(\omega;E)\models \varphi]$ por cada axioma $\varphi$$ZFC$.
Para 2), puedo argumentar en $ZFC+\neg $Con$(ZFC)$ que algunos finito fragmento de $ZFC$ debe ser incompatibles por la Compacidad. Así que luego me sale:
$ZFC+\neg $Con$(ZFC)\vdash\exists n\in\omega [$Con$(ZFC_n)\wedge \forall m\in\omega[m>n \implies \neg $Con$(ZFC_m)]]$. Por lo $ZFC+\neg $Con$(ZFC)\vdash $Con$(ZFC_i)\wedge \forall m\in\omega[m>i \implies \neg $Con$(ZFC_m)]]$ algunos $i<\omega$
Ahora quiero usar el hecho de que $ZFC\vdash$Con$(\Gamma)$ siempre $\Gamma$ es un subconjunto finito de $ZFC$, para decir que $ZFC\vdash$Con$(ZFC_{i+1})$, lo que significa que mi razonamiento es, sin duda, es deficiente.
Suponiendo que me estoy acercando este ejercicio correctamente, ¿cómo ir sobre la muestra 2)?
Me disculpo por la larga duración en la explicación de mi pregunta.
Cualquier ayuda es muy apreciada, gracias.
